2007-重庆卷文-20 解-框架围长方体体积最值

本题导读

本题考查导数在实际问题中的应用。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(文)）

用长为 $18\mathrm{m}$ 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 $2:1$，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

🔍【思路分析】

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1. 设宽为 $x$，则长为 $2x$；框架由 4 条长、4 条宽、4 条高组成：$4(2x+x+h)=18$，得 $h=\frac{9-6x}{2}=4.5-3x$。

2. 由 $h>0$ 得 $0<x<1.5$。

3. $V(x)=2x\cdot x\cdot (4.5-3x)=9x^2-6x^3$。

4. $V^{\prime }(x)=18x-18x^2=18x(1-x)$：$0<x<1$ 时为正，$1<x<1.5$ 时为负，$x=1$ 处取最大。

5. $V(1)=3$，此时长 $2$、宽 $1$、高 $1.5$。

✅【答案】

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长为 $2\mathrm{m}$，宽为 $1\mathrm{m}$，高为 $1.5\mathrm{m}$ 时体积最大，最大体积为 $3{\mathrm{m}}^3$

✍【详细解析】

Abstract

设长方体的宽为 $x\mathrm{m}$，则长为 $2x\mathrm{m}$，高为 $h\mathrm{m}$．

钢条总长为 4 条长、4 条宽、4 条高之和：$4(2x+x+h)=18$，即 $12x+4h=18$，解得 $h=4.5-3x$．

由 $h>0$ 得 $0<x<1.5$．

体积 $V(x)=2x\cdot x\cdot (4.5-3x)=9x^2-6x^3$，$x\in (0,1.5)$．

求导：$V^{\prime }(x)=18x-18x^2=18x(1-x)$．

当 $0<x<1$ 时 $V^{\prime }(x)>0$，$V$ 单调递增；当 $1<x<1.5$ 时 $V^{\prime }(x)<0$，$V$ 单调递减．

故 $x=1$ 时 $V$ 取最大值，$V(1)=9-6=3$．

此时长为 $2\mathrm{m}$，宽为 $1\mathrm{m}$，高为 $1.5\mathrm{m}$，最大体积为 $3{\mathrm{m}}^3$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：框架围长方体体积最值

核心方法：$12x+4h=18$ 得 $h=4.5-3x$；$V^{\prime }(x)=18x(1-x)$，$x=1$ 最大，$V=3$

避坑指南：框架棱长总和是 $4(\text{长}+\text{宽}+\text{高})$，别按 $2(\cdots )$ 算；写明定义域 $0<x<1.5$ 并由单调性定最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：框架问题求体积最值，与 2005 理第 15 题、1991 全国理第 20 题、2022 全国甲卷第 7 题同源

结论推广：棱长总和给约束，单变量化后用导数求最值

方法推广：应用题最后必须答（含单位）；由导数符号确定最大值时写清单调区间

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练(Links)

• 2005-重庆卷理-15 填-古典概型与分步乘法计数原理

• 1991-全国卷理-20

• 2022-全国甲卷-7