2007-重庆卷理-01 单-等差中项性质

本题导读

本题考查等差数列的基本代数计算。核心在于利用等差数列前 $n$ 项和与等差中项的刚性几何关联，快速求解指定项。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(理)） 若等差数列 $\{a_n\}$ 的前 3 项和 $S_3=9$ 且 $a_1=1$，则 $a_2$ 等于()

A. 3　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. 5　　　　　　　D. 6

🔍【思路分析】

破题导航

1. 运用等差中项性质简化求和：在等差数列中， 奇数项的和满足 $S_3=a_1+a_2+a_3=3a_2$。

2. 直接解出目标项：由于 $S_3=9$， 即可直接得到 $a_2$ 的数值， 题干中的 $a_1=1$ 为多余隐含或干扰条件。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：因为数列 $\{a_n\}$ 为等差数列， 根据等差数列的性质， 首项与第三项之和等于第二项的两倍， 即： $a_1+a_3=2a_2$

将此性质代入前 3 项和公式 $S_3$ 中： $S_3=a_1+a_2+a_3=(a_1+a_3)+a_2=2a_2+a_2=3a_2$

题目已知 $S_3=9$， 建立方程： $3a_2=9⟹a_2=3$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列项的对称求和特质（ $S_n=n\cdot a_{\text{中}}$ 当 $n$ 为奇数时）。
2. 核心方法：等差中项法。
3. 避坑指南：

• 很多考生习惯利用基本量法：由 $S_3=3a_1+\frac{3\times 2}{2}d=3a_1+3d=9$，代入 $a_1=1$ 解得 $3+3d=9⟹d=2$，进而求得 $a_2=a_1+d=1+2=3$。此方法虽然逻辑正确，但相比中项性质法较慢，考场上应敏锐捕捉对称结构实现秒杀。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自高中数学等差数列前 $n$ 项和的基础性质，属于考卷的送分题。

2. 结论推广: 在任意等差数列中， 若已知奇数项和 $S_{2k-1}$， 则其中项必有固定通式 $a_k=\frac{S_{2k-1}}{2k-1}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结