2007-重庆卷理-04 单-二项展开式通项公式

本题导读

本题考查二项式定理的基本应用。首先利用二项式系数之和的性质确定总幂次 $n$，再写出通用通项公式，令自变量 $x$ 的指数为 0 从而解出常数项。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(理)） 若 ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^n$ 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为()

A. 10　　　　　　B. 20　　　　　　C. 30　　　　　　D. 120

🔍【思路分析】

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1. 利用性质求解 $n$：二项式展开式的二项式系数之和公式为 $2^n$。由 $2^n=64$ 直接解得 $n=6$。

2. 写出通项公式：代入 $n=6$，写出展开式的通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_6^r\cdot x^{6-r}\cdot x^{-r}={\text{C}}_6^r\cdot x^{6-2r}$。

3. 锁定常数项：常数项意味着自变量 $x$ 的总指数为 0。令 $6-2r=0⟹r=3$，代入计算组合数。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：因为 ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^n$ 展开式的二项式系数之和为 64， 根据二项式系数的性质定理， 恒有： $2^n=64⟹2^n=2^6⟹n=6$

将 $n=6$ 代入， 得到二项式的标准通项公式为： $T_{r+1}={\text{C}}_6^r\cdot x^{6-r}\cdot {\left(\frac{1}{x}\right)}^r(0\le r\le 6,r\in \mathbf{Z})$ 合并自变量 $x$ 的底数指数部分： $T_{r+1}={\text{C}}_6^r\cdot x^{6-r}\cdot x^{-r}={\text{C}}_6^r\cdot x^{6-2r}$

若该项为常数项， 意味着其不含自变量 $x$， 即其总幂次必须严格等于 0。 建立关于 $r$ 的一元一次方程： $6-2r=0⟹2r=6⟹r=3$

将 $r=3$ 代回通项公式中， 计算该项对应的系数数值： $T_{3+1}={\text{C}}_6^3\cdot x^0={\text{C}}_6^3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式系数和 $2^n$ 与各项系数（ $T_{r+1}$）的概念辨析、常数项即指数为 0 这一代数模型的转化。
2. 核心方法：通项待定系数法。
3. 避坑指南：

• 务必分清“二项式系数之和”与“各向系数之和”的区别。二项式系数仅仅指组合数 ${\text{C}}_n^r$，其和恒等于 $2^n$，与括号里的代数式毫无关系。如果本题中括号里带有其他常数系数，二项式系数和依然是 $2^n$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式系数的性质、二项展开式的通项公式是重庆卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是二项式系数的性质、二项展开式的通项公式的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用赋值法/性质法、通项分析法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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