2007-重庆卷理-09 单-函数单调性区间分析

本题导读

本题考查函数的奇偶性与对称性转换、函数的单调性区间分析。核心在于准确识别题型特征并选用对应方法求解。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(理)） 已知定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $f(x)$ 在 $(8,+\infty )$ 上为减函数，且函数 $y=f(x+8)$ 为偶函数，则()

A. $f(6)>f(7)$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $f(6)>f(9)$

C. $f(7)>f(9)$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $f(7)>f(10)$

🔍【思路分析】

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1. 翻译对称条件：已知 $g(x)=f(x+8)$ 是偶函数， 满足 $g(-x)=g(x)⟹f(-x+8)=f(x+8)$。这表明原函数 $y=f(x)$ 的图象关于垂直直线 $x=8$ 严格轴对称。
2. 利用对称性转化自变量点：

• 题目给出的单调减区间为 $(8,+\infty )$。选项里涉及到的自变量有 6, 7, 9, 10。
• 9 和 10 本身就已经属于 $(8,+\infty )$。
• 6 和 7 小于 8， 需要利用对称轴 $x=8$ 对应的镜面公式 $f(x)=f(16-x)$ 映射到右侧： $f(6)=f(16-6)=f(10)$； $f(7)=f(16-7)=f(9)$。

3. 根据单调性一决高下：将所有项转化为右侧的 9 和 10 之后，由于在 $(8,+\infty )$ 上单调递减，自变量越大的函数值反而越小（即因为 $8<9<10⟹f(9)>f(10)$）， 替换还原代入选项排查。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：因为函数 $y=f(x+8)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的标准偶函数， 根据偶函数的定义（自变量符号取反， 函数值保持恒等）： $f(-x+8)=f(x+8)$ 这一代数式意味着， 原函数 $y=f(x)$ 的几何图象满足关于垂直直线 $x=8$ 严格轴对称的性质。 根据轴对称的函数公式， 距离对称轴等宽的两个自变量对应的函数值完全相等： $f(8-\Delta x)=f(8+\Delta x)$

我们利用此轴对称性质， 将落在左侧区域的自变量 6 和 7， 等价映射到右侧已知单调区间的右侧半轴上：

• 对于 $x=6$： 距离对称轴 8 的宽度为 $\Delta x=8-6=2$。 故有 $f(6)=f(8+2)=f(10)$；
• 对于 $x=7$： 距离对称轴 8 的宽度为 $\Delta x=8-7=1$。 故有 $f(7)=f(8+1)=f(9)$。

现在， 我们将选项中涉及到的所有函数值， 统一转换并对齐到已知的单调减区间 $(8,+\infty )$ 内部： $f(6)=f(10),f(7)=f(9),f(9),f(10)$

因为已知函数 $f(x)$ 在区间 $(8,+\infty )$ 上是一个严格的单调递减函数。 根据单调递减函数的性质， 自变量越大的项， 其截出的函数值反而越小。 由于在右侧区间内， 自变量的大小关系为： $8<9<10$ 利用单调递减律， 直接得出函数值的大小逆向关系为： $f(9)>f(10)$

我们将求得的 $f(9)>f(10)$ 这一刚性铁证结论， 分别用原来的符号进行等价替换：

• 替换左侧： 因为 $f(9)=f(7)$；
• 替换右侧： 因为 $f(10)=f(6)$。 代入得： $f(7)>f(6)(\text{排除 A 项})$ $f(7)>f(10)(\text{完美契合 D 项})$ 同时因为 $f(9)>f(10)⟹f(9)>f(6)⟹f(6)<f(9)$ （排除 B 项）； 因为 $f(7)=f(9)$ （两者相等， 排除 C 项）。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由 $f(x+a)$ 的奇偶性逆推原函数对称轴、轴对称镜面转换公式（ $f(x)=f(2x_0-x)$）、单调减区间自变量放大导致函数值缩小的代数控制。
2. 核心方法：对称平移映射法、自变量绝对距离比对法（由于轴对称且在右侧递减，本质上意味着谁离对称轴 $x=8$ 越近，谁的函数值就越大。 7 离 8 的距离是 1， 10 离 8 的距离是 2，1 距离近， 故 $f(7)>f(10)$。 此几何法在考场上极快）。
3. 避坑指南：

• 牢记“ $f(x+8)$ 为偶 $⟹$ 对称轴为 $x=8$”， 绝对不要错记成对称轴是 $x=-8$。 如果对称轴方向记反， 后续的坐标转换将全盘出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的奇偶性与对称性转换、函数的单调性区间分析是重庆卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是函数的奇偶性与对称性转换、函数的单调性区间分析的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用轴对称区间映射法、核心自变量距离比对法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I理-09 单-不等式
• 2008-天津卷理-09 单-三角函数
• 2009-福建卷文-08 单-偶函数单调性