2007-陕西卷理-02 单-集合补集运算

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法与集合的补集运算。通过整数集约束锁定集合元素，再进行补集运算。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(理)） 已知全集 $U=\{1,2,3,4,5\}$，集合 $A=\{x\in \mathbf{Z}\mid |x-3|<2\}$，则集合 ${\complement }_{U}A$ 等于()

A. $\{1,2,3,4\}$　　　　B. $\{2,3,4\}$　　　　C. $\{1,5\}$　　　　D. $\{5\}$

🔍【思路分析】

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1. 解不等式 $|x-3|<2$ 得到 $1<x<5$。

2. 结合 $x\in \mathbf{Z}$ 确定 $A=\{2,3,4\}$，再求其在全集 $U$ 中的补集。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $|x-3|<2$ 得 $-2<x-3<2$，解得 $1<x<5$． 又因 $x\in \mathbf{Z}$，故 $A=\{2,3,4\}$． 全集 $U=\{1,2,3,4,5\}$，则 ${\complement }_{U}A=\{1,5\}$． 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式解法，补集运算。

2. 核心方法：区间离散化元素列举法。

3. 避坑指南：注意不等式为开区间，集合 $A$ 不包含边界值 $1$ 和 $5$。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题为集合与初等不等式交汇的基础常考题型。

5. 结论推广：处理离散数集约束的集合运算，应先求出连续区间，再提取整数点集进行集合运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷III理-01 单-集合