2007-陕西卷理-05 单-等比数列片段性质

本题导读

本题考查等比数列前 $n$ 项和的代数结构特征。利用等比数列片段和仍成等比数列的性质直接求解，规避首项与公比的繁琐计算。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(理)） 各项均为正数的等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$．若 $S_n=2,S_{3n}=14$，则 $S_{4n}$ 等于()

A. 80　　　　　　　B. 30　　　　　　　C. 26　　　　　　　D. 16

🔍【思路分析】

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1. 利用等比数列性质，片段和 $S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n},S_{4n}-S_{3n}$ 构成公比为 $q^n$ 的新等比数列。

2. 设公比为 $x$，列出关于 $x$ 的方程求出有效正根，进而递推求出 $S_{4n}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由等比数列性质知，片段和 $S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n},S_{4n}-S_{3n}$ 构成等比数列． 已知 $S_n=2$，设该新数列的公比为 $x(x>0)$，则： $S_{2n}-S_n=2x$ $S_{3n}-S_{2n}=2x^2$ 由 $S_{3n}=S_n+(S_{2n}-S_n)+(S_{3n}-S_{2n})$ 得： $2+2x+2x^2=14⟹x^2+x-6=0$． 解得 $x=2$ 或 $x=-3$（舍去）． 所以 $S_{4n}-S_{3n}=2x^3=2\times 2^3=16$． 故 $S_{4n}=S_{3n}+16=14+16=30$． 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列片段和的等比性，一元二次方程根的符号筛选。

2. 核心方法：整体代换法（将 $q^n$ 视为整体 $x$）。

3. 避坑指南：常规使用公式展开联立基本量极易陷入高次分式方程的化简死胡同；注意需根据“各项均为正数”舍去负根 $x=-3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中等比数列前 $n$ 项和性质的拓展。

5. 结论推广：若等比数列前 $n$ 项和为 $S_n$，则对任意正整数 $k$，片段差序列 $S_k,S_{2k}-S_k,S_{3k}-S_{2k},\dots$ 在 $S_k\ne 0$ 且 $q^k\ne -1$ 的条件下恒成等比数列。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2019-全国卷III理-09 单-程序框图