2007-陕西卷理-06 单-正三棱锥结构特征体积公式

本题导读

本题考查多面体与球的组合体问题。通过正三棱锥底面在球的大圆上这一特殊截面空间状态，将空间内切外接问题转化为平面几何计算。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(理)） 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是()

A. $\frac{3\sqrt{3}}{4}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{4}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{12}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 底面顶点在球的大圆上 $⟹$ 底面正三角形的外接圆半径 $r$ 等于球的半径 $R=1$，由此计算底面面积。

2. 锥顶在底面的射影为球心 $⟹$ 该正三棱锥的高 $h$ 恰好等于球的半径 $R=1$，代入体积公式求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

正三棱锥的底面三个顶点位于球的一个大圆上， 说明该底面正三角形的外接圆半径 $r=R=1$． 设底面正三角形的边长为 $a$，由正弦定理得 $a=\sqrt{3}r=\sqrt{3}$． 则底面面积为 $S_{\text{底}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times (\sqrt{3}{)}^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}$． 因为该几何体为正三棱锥，且四个顶点均在球面上，底面圆心即为球心， 所以正三棱锥的高 $h$ 等于球的半径 $R=1$． 由棱锥体积公式得： $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}h=\frac{1}{3}\times \frac{3\sqrt{3}}{4}\times 1=\frac{\sqrt{3}}{4}$． 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：大圆的几何定义（过球心的截面圆），正三角形外接圆半径与边长的代数关系，棱锥体积。

2. 核心方法：利用空间截面法将立体问题平面化。

3. 避坑指南：需明确“大圆”意味着截面过球心，底面圆心与球心重合，高即为半径，无需再通过垂径定理去重新计算核心悬距。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于立体几何中“球的外接多面体”经典模型，是由体积公式与球性质重组后的概念创新题。

5. 结论推广：若正 $m$ 棱锥的底面顶点均位于半径为 $R$ 的球的大圆上，且顶点也在该球面上，则该正 $m$ 棱锥的体积通式为 $V=\frac{1}{6}m{R}^3\sin \frac{2\pi }{m}$．

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-12 单-反函数定义与性质