2007-陕西卷理-14 填-二元一次不等式组平面区域

本题导读

本题考查二元一次不等式组构建的平面可行域及线性目标函数最值的求解。通过绘制出三角形可行域，利用平行移动目标直线法或顶点代入比对法锁定最大值。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(理)） 已知实数 $x,y$ 满足条件 $\{\begin{array}{l}x-2y+4\ge 0\\ 2x+y-2\ge 0\\ 3x-y-3\le 0\end{array}$，则 $z=x+2y$ 的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 画出可行域：在平面直角坐标系中绘制出三个不等式共同约束的封闭平面区域，求出其所有边界交叉顶点的坐标。

2. 寻求解集：将目标函数变形为斜截式直线方程，通过平移直线法或直接将可行域的各顶点坐标代入目标函数比对出最大值。

✅【答案】

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8

✍【详细解析】

Abstract

作出不等式组表示的平面区域，该可行域为一个三角形区域。 联立边界直线方程求得可行域的三个顶点坐标： 解 $\{\begin{array}{l}x-2y+4=0\\ 2x+y-2=0\end{array}$ 得顶点 $A(0,2)$； 解 $\{\begin{array}{l}2x+y-2=0\\ 3x-y-3=0\end{array}$ 得顶点 $B(1,0)$； 解 $\{\begin{array}{l}x-2y+4=0\\ 3x-y-3=0\end{array}$ 得顶点 $C(2,3)$． 将三个顶点坐标依次代入目标函数 $z=x+2y$ 中进行比对： 当经过点 $A(0,2)$ 时，$z=0+2\times 2=4$； 当经过点 $B(1,0)$ 时，$z=1+2\times 0=1$； 当经过点 $C(2,3)$ 时，$z=2+2\times 3=8$． 综上所述，$z$ 的最大值为 8．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划中平面区域的精确绘制，目标函数截距几何意义的转化。

2. 核心方法：数形结合下的顶点代入判定法。

3. 避坑指南：联立求解交点坐标时需仔细，防止因计算粗心得出错误的顶点坐标导致全局计算失败。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中线性规划章节最标准的常规平面区域控制模型，属于高考中考查频率极高的送分填空题。

5. 结论推广：由于凸多边形可行域的凸集拓扑性质，线性目标函数 $z=Ax+By$ 的最大值或最小值必然在平面区域的凸边界顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷理-15 填-线性规划