2007-陕西卷理-20 解-利用导数研究函数单调性

本题导读

本题考查分式函数的定义域与导数在研究函数单调性中的应用。第一问通过分母恒不为零转化为二次分子的判别式问题；第二问利用导数公式求导后，针对导函数零点的大小关系展开分类讨论，侧重考查逻辑推理与分类讨论的严谨性。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(理)） 设函数 $f(x)=\frac{{\text{e}}^x}{x^2+ax+a}$，其中 $a$ 为实数．

(1) 若 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，求 $a$ 的取值范围；

(2) 当 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ 时，求 $f(x)$ 的单调减区间．

🔍【思路分析】

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1. 第一问：定义域为 $\mathbf{R}$ 说明分母 $x^2+ax+a\ne 0$ 对任意 $x\in \mathbf{R}$ 恒成立，结合二次项系数为正，利用判别式 $\Delta <0$ 建立不等式求解。

2. 第二问：求出导函数 $f^{\prime }(x)$，将其分子化简为 $x^2+(a-2)x$。由 $f^{\prime }(x)\le 0$ 锁定减区间，根据根 $0$ 与 $2-a$ 的相对大小，以 $a=2$ 为界限分三种情况讨论。

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当 $0<a<2$ 时，单调减区间为 $[0,2-a]$；当 $a=2$ 时，无单调减区间；当 $2<a<4$ 时，单调减区间为 $[2-a,0]$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解：因为函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$， 所以分母 $x^2+ax+a\ne 0$ 对任意 $x\in \mathbf{R}$ 恒成立． 则二次方程的判别式满足： $\Delta =a^2-4a<0$ 解得 $0<a<4$． 故 $a$ 的取值范围是 $(0,4)$．

(2) 解：对函数 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=\frac{({\text{e}}^x{)}^{\prime }(x^2+ax+a)-{\text{e}}^x(x^2+ax+a{)}^{\prime }}{(x^2+ax+a{)}^2}$ $f^{\prime }(x)=\frac{{\text{e}}^x(x^2+ax+a)-{\text{e}}^x(2x+a)}{(x^2+ax+a{)}^2}=\frac{{\text{e}}^x[x^2+(a-2)x]}{(x^2+ax+a{)}^2}$ 当 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ 时，${\text{e}}^x>0$ 且 $(x^2+ax+a{)}^2>0$ 恒成立， 令 $f^{\prime }(x)\le 0$，得 $x^2+(a-2)x\le 0$，即 $x[x-(2-a)]\le 0$． 方程 $x[x-(2-a)]=0$ 的两个根为 $0$ 和 $2-a$． 由 (1) 知 $0<a<4$，对 $2-a$ 与 $0$ 的大小关系分类讨论如下： ① 当 $0<a<2$ 时，$2-a>0$，不等式的解集为 $[0,2-a]$， 此时函数 $f(x)$ 的单调减区间为 $[0,2-a]$； ② 当 $a=2$ 时，$2-a=0$，不等式为 $x^2\le 0$，解得 $x=0$， 此时函数 $f(x)$ 无单调减区间； ③ 当 $2<a<4$ 时区域，$2-a<0$，不等式的解集为 $[2-a,0]$， 此时函数 $f(x)$ 的单调减区间为 $[2-a,0]$． 综上所述： 当 $0<a<2$ 时，单调减区间为 $[0,2-a]$； 当 $a=2$ 时，无单调减区间； 当 $2<a<4$ 时，单调减区间为 $[2-a,0]$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式函数定义域的代数转化，商的导数运算法则，含参二次不等式的分类讨论。

2. 核心方法：判别式控制法，两根相对位置分段讨论法。

3. 避坑指南：(2)问中极易由于思维定势忽略 $a=2$ 时两根重合导致不等式解集退化为单点的情况，必须单独列出进行说明；同时写单调区间时需确保区间端点代入的闭合规范性。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中利用导数工具求解含参函数单调性的核心主干大题，通过将指数函数与二次函数复合，演变为高考经典的导数第一问常规题型。

5. 结论推广：对于任意形如 $f(x)=\frac{{\text{e}}^x}{P(x)}$ 的函数，其导函数的符号完全由 $P(x)-P^{\prime }(x)$ 的符号决定，该多项式的零点即为原函数单调性切换的临界分界点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-21 解-导数单调性