2007-陕西卷理-21 解-三角形面积最值求解

本题导读

本题考查椭圆标准方程的求解及直线与椭圆相交形成的三角形面积最值问题。第一问通过离心率与几何特征建立方程组；第二问联立方程后利用弦长公式配合点到直线距离公式构建面积函数，使用基本不等式完成最值求解。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(理)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$，短轴一个端点到右焦点的距离为 $\sqrt{3}$．

(1) 求椭圆 $C$ 的方程；

(2) 设直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点，坐标原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，求 $△AOB$ 面积的最大值．

🔍【思路分析】

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1. 第一问：根据椭圆几何性质，短轴端点到焦点的距离即为长半轴长 $a$，结合离心率即可确定 $a,b,c$ 进而求出方程。

2. 第二问：分类讨论直线斜率。当斜率存在时设为 $y=kx+m$，利用点到直线距离公式锁定 $m^2$ 与 $k^2$ 的关系。联立方程后用韦达定理表示出弦长 $|AB|$，写出面积表达式并利用基本不等式求出最大值。

✅【答案】

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（1）设椭圆的半焦距为𝑐，则离心率𝑒=𝑐𝑎=√6

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解：设椭圆的半焦距为 $c$． 由椭圆的几何性质可知，短轴一个端点到右焦点的距离为 $a$，则 $a=\sqrt{3}$，即 $a^2=3$． 因为离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，所以 $c=\frac{\sqrt{6}}{3}\times \sqrt{3}=\sqrt{2}$，即 $c^2=2$． 则 $b^2=a^2-c^2=3-2=1$． 故椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{3}+y^2=1$．

(2) 解：① 当直线 $l$ 的斜率不存在时，直线方程为 $x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$． 代入椭圆方程得：$\frac{3/4}{3}+y^2=1⟹y^2=\frac{3}{4}⟹y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$． 此时 $|AB|=\sqrt{3}$，原点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{\sqrt{3}}{2}$， $△AOB$ 的面积 $S=\frac{1}{2}\times \sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}$．

② 当直线 $l$ 的斜率存在时，设直线 $l$ 的方程为 $y=kx+m$． 因为原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以 $\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}⟹m^2=\frac{3}{4}(1+k^2)$． 联立直线与椭圆方程：$\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ x^2+3y^2=3\end{array}$， 消去 $y$ 整理得：$(1+3k^2)x^2+6kmx+3m^2-3=0$． 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则由韦达定理得： $x_1+x_2=-\frac{6km}{1+3k^2}$，$x_1{x}_2=\frac{3m^2-3}{1+3k^2}$． 则弦长 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{1+k^2}\cdot \frac{\sqrt{12(1+3k^2-m^2)}}{1+3k^2}$． 将 $m^2=\frac{3}{4}(1+k^2)$ 代入化简得：$1+3k^2-m^2=\frac{1}{4}(1+9k^2)$， 所以 $|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot \frac{\sqrt{3(1+9k^2)}}{1+3k^2}$． 则 $△AOB$ 的面积为： $S=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot d=\frac{1}{2}\cdot \left(\sqrt{1+k^2}\cdot \frac{\sqrt{3(1+9k^2)}}{1+3k^2}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}\frac{\sqrt{(1+k^2)(1+9k^2)}}{1+3k^2}$ $S=\frac{3}{4}\sqrt{\frac{9k^4+10k^2+1}{9k^4+6k^2+1}}=\frac{3}{4}\sqrt{1+\frac{4k^2}{9k^4+6k^2+1}}$ 当 $k=0$ 时，$S=\frac{3}{4}$； 当 $k\ne 0$ 时，$S=\frac{3}{4}\sqrt{1+\frac{4}{9k^2+\frac{1}{k^2}+6}}$． 因为 $k^2>0$，由基本不等式得 $9k^2+\frac{1}{k^2}\ge 2\sqrt{9k^2\cdot \frac{1}{k^2}}=6$， 当且仅当 $9k^2=\frac{1}{k^2}$ 即 $k^2=\frac{1}{3}$ 时等号成立． 此时分母取得最小值，面积 $S$ 取得最大值： $S_{\text{max}}=\frac{3}{4}\sqrt{1+\frac{4}{6+6}}=\frac{3}{4}\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 因为 $\frac{\sqrt{3}}{2}>\frac{3}{4}$，所以 $△AOB$ 面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆标准方程建立，直线与椭圆联立的通用代数变形，弦长公式，利用基本不等式求解分式结构最值。

2. 核心方法：设而不求法（韦达定理），均值不等式配对法。

3. 避坑指南：第 (2) 问设直线时必须考虑斜率不存在的特例情形单独计算；在最后的面积函数中，合理利用分子分母同除以 $k^2$ 转化为基本不等式模型是高效化简的关键，避免直接求导导致运算过繁。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于解析几何中关于“定距离动直线切/截圆锥曲线”的经典弦长最值命题，是解析几何中综合考查代数变形能力的标准压轴题。

5. 结论推广：对于标准椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，若中心到动直线 $l$ 的距离为定值 $d$，则 $△AOB$ 面积的最大值在直线斜率存在且满足特定基本不等式取等条件时取得。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2019-全国卷I理-20 解-导数综合