2008-上海卷理-08 填-对数

本题导读

本题考查函数的奇偶性与对数不等式的综合求解。通过奇函数的对称特征，考查分类讨论思想与分段解析式的转化能力。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(理)） 设函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数.若当 $x\in (0,+\infty )$ 时，$f(x)=\lg x$，则满足 $f(x)>0$ 的 $x$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分区间讨论：由于 $f(x)$ 是奇函数且满足 $f(0)=0$，考虑 $x>0$ 和 $x<0$ 两个区间。
2. 当 $x>0$ 时，直接解不等式 $\lg x>0$。
3. 当 $x<0$ 时，利用奇函数性质 $f(x)=-f(-x)$ 将其转化为关于 $-x>0$ 的不等式进行求解，最后并集。

✅【答案】

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$(-1,0)\cup (1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，所以 $f(0)=0$。 下面对 $x$ 的范围分类讨论解不等式 $f(x)>0$：

• 当 $x>0$ 时，$f(x)=\lg x>0⟹x>1$；
• 当 $x<0$ 时，$-x>0$，利用奇函数定义有 $f(x)=-f(-x)=-\lg (-x)$。 由 $f(x)>0$ 得 $-\lg (-x)>0⟹\lg (-x)<0$。 解得 $0<-x<1⟹-1<x<0$。

综合上述两种情况，满足条件的 $x$ 范围是 $(-1,0)\cup (1,+\infty )$。

故答案为：$(-1,。0)\cup (1,+\infty )$**。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇函数关于原点对称的性质、对数单调性。
2. 核心方法：代数转化法（将自变量转化为已知区间）或图象对称法（画出完整的 $f(x)$ 轴对称/中心对称图象直接观察）。
3. 避坑指南：极易漏掉 $x<0$ 的负数区间，解 $\lg (-x)<0$ 时切记不要漏掉对数的定义域限制 $-x>0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材中利用函数奇偶性求另一半区间解析式或解不等式的经典例题。
2. 结论推广: 若 $f(x)$ 为奇函数，在 $(0,+\infty )$ 上单调递增且零点为 $x_0$，则不等式 $f(x)>0$ 的解集恒为 $(-x_0,0)\cup (x_0,+\infty )$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数
• 2009-大纲卷II文-03 单-对数函数奇偶对称