2008-北京卷理-18 解-导数

本题导读

本题考查含参数分式函数的求导运算，以及利用导数研究函数单调性的标准流程，核心在于根据导数零点与分母不连续点的相对大小进行分类讨论。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(理)） 已知函数 $f(x)=\frac{2x-b}{(x-1{)}^2}$，求导函数 $f^{\prime }(x)$，并确定 $f(x)$ 的单调区间.

🔍【思路分析】

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1. 明确函数定义域为 $\{x\mid x\ne 1\}$，利用商的求导法则求出 $f^{\prime }(x)$，并将其因式分解。
2. 导函数解析式中含有因式 $x-(b-1)$ 与 $(x-1{)}^3$，其正负号受 $b-1$ 与 $1$ 相对大小的影响。
3. 针对 $b-1<1$、$b-1=1$、$b-1>1$ 三种情况分类讨论，判定 $f^{\prime }(x)$ 的符号，从而得出单调区间。

✅【答案】

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$f\prime (x)=-2[x-(b-1)](x-1)3.$

✍【详细解析】

Abstract

解： 函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty ,1)\cup (1,+\infty )$。 由商的求导法则可得： $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-b{)}^{\prime }(x-1{)}^2-(2x-b)[(x-1{)}^2{]}^{\prime }}{(x-1{)}^4}$ $=\frac{2(x-1{)}^2-(2x-b)\cdot 2(x-1)}{(x-1{)}^4}$ $=\frac{2(x-1)[(x-1)-(2x-b)]}{(x-1{)}^4}$ $=\frac{2(b-1-x)}{(x-1{)}^3}=\frac{-2[x-(b-1)]}{(x-1{)}^3}$

令 $f^{\prime }(x)=0$，解得 $x=b-1$。由于分母零点为 $x=1$，下面对 $b-1$ 与 $1$ 的大小关系进行分类讨论：

① 当 $b-1<1$，即 $b<2$ 时： 若 $x\in (b-1,1)$，则 $x-(b-1)>0$ 且 $(x-1{)}^3<0$，此时 $f^{\prime }(x)>0$； 若 $x\in (-\infty ,b-1)$ 或 $x\in (1,+\infty )$，此时 $f^{\prime }(x)<0$。 故 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(b-1,1)$；单调递减区间为 $(-\infty ,b-1)$ 和 $(1,+\infty )$。

② 当 $b-1=1$，即 $b=2$ 时： $f^{\prime }(x)=\frac{-2(x-1)}{(x-1{)}^3}=\frac{-2}{(x-1{)}^2}$ 对任意 $x\ne 1$，恒有 $f^{\prime }(x)<0$。 故 $f(x)$ 的单调递减区间为 $(-\infty ,1)$ 和 $(1,+\infty )$，无单调递增区间。

③ 当 $b-1>1$，即 $b>2$ 时： 若 $x\in (1,b-1)$，则 $x-(b-1)<0$ 且 $(x-1{)}^3>0$，此时 $f^{\prime }(x)>0$； 若 $x\in (-\infty ,1)$ 或 $x\in (b-1,+\infty )$，此时 $f^{\prime }(x)<0$。 故 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(1,b-1)$；单调递减区间为 $(-\infty ,1)$ 和 $(b-1,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式求导公式 $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$，多零点交叉区域的导数符号讨论。
2. 核心方法：分类讨论时以“导数零点”与“定义域间断点”的相对位置为分界标准。
3. 避坑指南：

• 求导时容易把分母的复合函数求导 $[(x-1{)}^2{]}^{\prime }=2(x-1)$ 漏掉或算错。
• 书写单调减区间时，务必注意 $x=1$ 处无意义，必须断开写成“$(-\infty ,1)$ 和 $(1,+\infty )$”，切不可用“$\cup$”连接或盲目合写。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是导数应用于函数单调性讨论的经典题型，属于教材选修 2-2 导数章节中常规含参问题的变体。
2. 结论推广: 对于形如 $f(x)=\frac{px+q}{(x-x_0{)}^2}$ 的函数，其导函数分子的零点 $x_1$ 与分母零点 $x_0$ 构成的相对位置关系，决定了该双曲线型复合函数的增减特征，讨论临界点恒为 $x_1=x_0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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