2008-四川卷文-09 单-抽象函数周期求值

本题导读

$f(x+2)=\frac{13}{f(x)}$，$f(x+4)=\frac{13}{f(x+2)}=f(x)$；$99=1+4\times 24+2$，$f(99)=f(3)=\frac{13}{f(1)}=\frac{13}{2}$.

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(文)） 设定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x)\cdot f(x+2)=13$，若 $f(1)=2$，则 $f(99)=$()

A. $13$　　　　　　B. $2$　　　　　　C. $\frac{13}{2}$　　　　　　D. $\frac{2}{13}$

🔍【思路分析】

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递推式两头除：$f(x+2)=\frac{13}{f(x)}$，再代 $x+2$ 得 4 为周期；$99\mathrm{mod}4=3$，落到 $f(3)$.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $f(x)f(x+2)=13$，知 $f(x)\ne 0$，且 $f(x+2)=\frac{13}{f(x)}$．再将 $x$ 换成 $x+2$，得 $f(x+4)=\frac{13}{f(x+2)}=f(x)$，所以 $f$ 以 4 为一个周期．因为 $99=1+4\times 24+2$，故 $f(99)=f(3)=\frac{13}{f(1)}=\frac{13}{2}$．故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抽象函数的周期性

核心方法：递推式迭代：$f(x+4)=f(x)$，大自变量回落到小区间

避坑指南：$99=1+4\times 24+2$ 落到 $f(3)=\frac{13}{f(1)}$；周期是 4 不是 2——$f(x+2)$ 是取倒数关系不是相等

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抽象函数递推求值，f(x)f(x+2)=13 型

结论推广：$f(x)f(x+a)=c$ 型必以 $2a$ 为周期，值域在 $\{\pm \sqrt{c}\}$ 间交替

方法推广：递推式两步迭代出周期；大下标用带余除法回落

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2016-四川卷理-14
• 2016-四川卷文-11
• 2015-四川卷理-16 解-数列递推