2008-四川卷文-14 填-圆上点到直线距离

本题导读

$d=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，$r=\sqrt{2}$，最小距离 $d-r=\sqrt{2}$.

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(文)） 已知直线 $l:x-y+4=0$ 与圆 $C:(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=2$，则 $C$ 上各点到 $l$ 的距离的最小值为　　　.

🔍【思路分析】

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先判位置：$d=2\sqrt{2}>\sqrt{2}=r$，线圆相离，最小距离 $=d-r$.

✅【答案】

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$\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

圆心为 $O=(1,1)$，半径为 $r=\sqrt{2}$．圆心到直线 $l$ 的距离为$d=\frac{|1-1+4|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=2\sqrt{2}$．因为 $d>r$，圆上各点到直线的最小距离等于 $d-r=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆的位置关系

核心方法：圆心距 $d$ 与半径 $r$ 比较；相离时最小距离 $d-r$

避坑指南：$d=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$：分子是 $|1-1+4|=4$，别把圆心坐标代错成 $(1,-1)$；“圆上点到直线”不是”圆心到直线”

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆上点到直线的距离，位置关系小题

结论推广：相离时：$d_{\min }=d-r$、$d_{\max }=d+r$

方法推广：先判位置关系再选公式，别直接套

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

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