2008-大纲卷I理-07 单-圆

本题导读

本题考查导数的几何意义以及解析几何中两条直线垂直的充要条件，通过求导得到切线斜率进而确立未知参数的方程。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(理)） 设曲线 $y=\frac{x+1}{x-1}$ 在点 $(3,2)$ 处的切线与直线 $ax+y+1=0$ 垂直，则 $a=$ ()

A. 2　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $-\frac{1}{2}$　　　　　　　D. -2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对商形式的函数 $y$ 求导，将 $x=3$ 代入导函数中求出切线斜率 $k_1$。
2. 根据已知直线 $ax+y+1=0$ 确定其斜率 $k_2=-a$。
3. 利用两直线垂直的充要条件 $k_1\cdot k_2=-1$ 构造关于 $a$ 的方程求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

对 $y=\frac{x+1}{x-1}$ 求导得： $y^{\prime }=\frac{(x+1{)}^{\prime }(x-1)-(x+1)(x-1{)}^{\prime }}{(x-1{)}^2}=\frac{1\cdot (x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{(x-1{)}^2}$ 将切点横坐标 $x=3$ 代入，得切线斜率为： $k_1=y^{\prime }{|}_{x=3}=\frac{-2}{(3-1{)}^2}=-\frac{1}{2}$ 已知直线 $ax+y+1=0$ 可化为 $y=-ax-1$，其斜率 $k_2=-a$。 因为切线与该直线垂直，所以： $k_1\cdot k_2=-1\Rightarrow \left(-\frac{1}{2}\right)\times (-a)=-1\Rightarrow \frac{1}{2}a=-1\Rightarrow a=-2$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的商的求导法则、曲线在某点处导数即为切线斜率。
2. 核心方法：两直线垂直斜率乘积为 $-1$ 的代数应用。
3. 避坑指南：注意商的求导法则分子上的符号变化，容易将 $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ 错记为加号；同时注意直线斜率为 $-a$ 时的符号处理。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自解析几何与导数初步中关于切线斜率与垂直直线的经典结合题型。
2. 结论推广：对于反比例平移曲线 $y=\frac{x+m}{x-m}$，其在任意点处的导数恒为 $\frac{-2m}{(x-m{)}^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-11 填-导数
• 2009-北京卷理-11 填-导数
• 2009-北京卷理-18 解-导数