2008-大纲卷II理-04 单-对数

本题导读

本题考查对数式及其幂次的大小比较。核心在于利用对数函数的单调性确定底数的取值范围，进而通过换元法简化变量关系进行比对。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(理)） 若 $x\in ({\text{e}}^{-1},1)$，$a=\ln x$，$b=2\ln x$，$c={\ln }^{3}x$，则 ()

A. $a<b<c$　　B. $c<a<b$　　C. $b<a<c$　　D. $b<c<a$

🔍【思路分析】

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1. 根据 $x\in ({\text{e}}^{-1},1)$ 以及对数函数 $y=\ln x$ 的单调递增性，确定 $\ln x$ 的取值范围。
2. 设 $t=\ln x$，将 $a,b,c$ 转化为关于 $t$ 的一元代数式：$a=t,b=2t,c=t^3$。
3. 利用因式分解法或在对应范围内取特殊值（如 $t=-\frac{1}{2}$）比较 $t,2t,t^3$ 的大小。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 ${\text{e}}^{-1}<x<1$，且基底 $\text{e}>1$，对数函数 $y=\ln x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增， 所以 $\ln {\text{e}}^{-1}<\ln x<\ln 1\Rightarrow -1<\ln x<0$。 令 $t=\ln x$，则 $t\in (-1,0)$。 各表达式转化为：$a=t$，$b=2t$，$c=t^3$。

比较 $b$ 与 $a$： $b-a=2t-t=t$ 因为 $t<0$，所以 $b-a<0\Rightarrow b<a$。

比较 $a$ 与 $c$： $c-a=t^3-t=t(t^2-1)=t(t-1)(t+1)$ 因为 $-1<t<0$，所以 $t<0$，$t-1<0$，$t+1>0$。 相乘得 $t(t-1)(t+1)>0$，所以 $c-a>0\Rightarrow a<c$。

综上所述，可得 $b<a<c$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数函数的数值范围判定、一元不等式的比较。
2. 核心方法：整体换元法（将 $\ln x$ 换元为 $t$）。
3. 避坑指南：负数在进行乘法和乘方时大小关系变化较为特殊（如负数翻倍会变小，负数立方在其绝对值小于1时会变大），应严格通过作差法并对因式符号进行逐一判定，避免主观直觉错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中利用指数与对数函数单调性比较数值大小的经典题型。
2. 结论推广：若 $t\in (-1,0)$，对于任意正整数 $n$，恒有 $2t<t<t^{2n+1}<0<t^{2n}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数
• 2009-大纲卷II文-03 单-对数函数奇偶对称