2008-大纲卷II理-07 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的应用。核心是通过代数结构重组化简底数，然后利用二项式展开式确定特定项的系数。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(理)） $(1-\sqrt{x}{)}^6(1+\sqrt{x}{)}^4$ 的展开式中 $x$ 的系数是 ()

A. -4　　　　　　　B. -3　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

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1. 将原式拆项变形为 $[(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x}){]}^4\cdot (1-\sqrt{x}{)}^2$。
2. 利用平方差公式和完全平方公式将其化简为 $(1-x{)}^4\cdot (1-2\sqrt{x}+x)$。
3. 展开 $(1-x{)}^4$，分析其与后面多项式相乘后能产生 $x^1$ 项的组合，计算其系数。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

对代数式进行结构变形： $(1-\sqrt{x}{)}^6(1+\sqrt{x}{)}^4=(1-\sqrt{x}{)}^2\cdot [(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x}){]}^4$ $=(1-2\sqrt{x}+x)\cdot (1-x{)}^4$ 由二项式定理展开 $(1-x{)}^4$ 得： $(1-x{)}^4=(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{0})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1})x+(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})x^2-(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3})x^3+(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4})x^4=1-4x+6x^2-4x^3+x^4$ 将两部分相乘，我们要寻找产生 $x^1$ 的项：

1. 前面的常数项 $1$ 与后面的 $-4x$ 相乘，得到 $-4x$；
2. 前面的 $x$ 与后面的常数项 $1$ 相乘，得到 $x$；
3. 前面的 $-2\sqrt{x}$ 与后面的任意项相乘都无法产生有理项 $x^1$。 因此，展开式中 $x$ 的系数为： $-4+1=-3$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式的通项与多项式混合项系数。
2. 核心方法：幂次拆分与平方差公式构造。
3. 避坑指南：切忌直接对 $(1-\sqrt{x}{)}^6$ 和 $(1+\sqrt{x}{)}^4$ 分别写出通项公式再做复杂的双重求和，利用底数对称性进行化简是避免计算冗余的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中关于二项式定理变形及多项式因式组合的高频常考题。
2. 结论推广：对于展开式 $(1-x{)}^n(1+x+x^2\dots )$ 类问题，通过提取公因式和对称构造均可实现降次或化简。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷理-06 单-二项式定理
• 2009-四川卷文-14 填-二项式常数项
• 2009-四川卷理-13 填-二项式定理