2008-大纲卷II理-14 填-圆

本题导读

本题考查导数几何意义的基本应用，通过求复合指数函数在给定点处的导数来确定切线斜率，再利用垂直条件联立求解参数。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(理)） 设曲线 $y={\text{e}}^{ax}$ 在点 $(0,1)$ 处的切线与直线 $x+2y+1=0$ 垂直，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 对函数 $y={\text{e}}^{ax}$ 求导，代入 $x=0$ 求出曲线在点 $(0,1)$ 处的切线斜率 $k_1$。
2. 将已知直线方程化为斜截式，求得其斜率 $k_2$。
3. 根据两直线垂直的充要条件 $k_1\cdot k_2=-1$ 建立方程求解 $a$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

对 $y={\text{e}}^{ax}$ 求导，由复合函数求导法则得： $y^{\prime }=a{\text{e}}^{ax}$ 将切点横坐标 $x=0$ 代入导函数，得切线斜率为： $k_1=y^{\prime }{|}_{x=0}=a{\text{e}}^0=a$ 已知直线 $x+2y+1=0$ 可化为 $y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$，其斜率为 $k_2=-\frac{1}{2}$。 因为两条直线相互垂直，所以： $k_1\cdot k_2=-1\Rightarrow a\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-1\Rightarrow a=2$ 故答案为 2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数型复合函数的求导、切线斜率与导数的关系。
2. 核心方法：两直线垂直斜率乘积为 $-1$ 的方程化。
3. 避坑指南：对 $y={\text{e}}^{ax}$ 求导时不要丢掉外层函数求导带来的系数 $a$；确认已知直线斜率时注意变号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中关于导数几何意义以及解析几何直线垂直关系的基础综合题。
2. 结论推广：曲线 $y={\text{e}}^{ax}$ 在 $x=0$ 处的切线方程恒为 $y=ax+1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-11 填-导数
• 2009-北京卷理-11 填-导数
• 2009-北京卷理-18 解-导数