2008-天津卷理-13 填-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的几何性质、点关于直线的对称性，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(理)） 已知圆 $C$ 的圆心与抛物线 $y^2=4x$ 的焦点关于直线 $y=x$ 对称. 直线 $4x-3y-2=0$ 与圆 $C$ 相交于 $A,B$ 两点，且 $|AB|=6$，则圆 $C$ 的方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由抛物线方程 $y^2=4x$ 求出其焦点 $F$ 的坐标。
2. 根据点关于直线 $y=x$ 对称的坐标转化规律（横纵坐标互换），求出圆心 $C$ 的坐标。
3. 借助点到直线的距离公式求出圆心 $C$ 到已知直线的弦心距 $d$。
4. 利用垂径定理的勾股弦关系 $R^2=d^2+{\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2$ 计算半径的平方，进而写出圆的标准方程。

✅【答案】

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$x^2+(y-1{)}^2=10$

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=4x$ 的标准形式中 $2p=4⟹\frac{p}{2}=1$， 所以其焦点为 $F(1,0)$。 因为圆 $C$ 的圆心与焦点 $F(1,0)$ 关于直线 $y=x$ 对称， 所以圆心坐标为 $C(0,1)$。

圆心 $C(0,1)$ 到相交直线 $4x-3y-2=0$ 的距离（弦心距）为： $d=\frac{|4\times 0-3\times 1-2|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\frac{|-5|}{5}=1$ 已知直线与圆相交的弦长 $|AB|=6$，所以半弦长 $\frac{|AB|}{2}=3$。 根据圆的几何性质，半径 $R$、弦心距 $d$、半弦长构成直角三角形，由勾股定理得： $R^2=d^2+{\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2=1^2+3^2=10$ 故所求圆 $C$ 的方程为： $x^2+(y-1{)}^2=10$

故答案为：$x^2。+(y-1{)}^2=10$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的焦点位置；关于特殊直线对称的坐标变换；圆内弦长、弦心距、半径构成的勾股三角网格模型。
2. 核心方法：几何法（相比于联立方程用韦达定理计算弦长，几何法效率最高、计算量最小）。
3. 避坑指南：找抛物线焦点时注意开口方向及 $p$ 的取值，不要误认为焦点在 $y$ 轴上；关于 $y=x$ 对称只需直接交换横纵坐标，注意正负号不要颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题综合了教材中有关圆锥曲线基础性质和解析几何中直线与圆位置关系的经典定理，突出考查基础工具的联动应用。
2. 结论推广：对于任意弦长问题，只要已知直线方程和圆心，均首选构建 $\text{Rt}\Delta$ 满足 $R^2=d^2+(\frac{l}{2}{)}^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-09 填-抛物线弦长
• 2009-北京卷理-08 单-抛物线
• 2009-四川卷文-13 填-抛物线焦准距