2008-安徽卷文-22 解-椭圆焦点弦最值

本题导读

第(1)问由焦点 $F(2,0)$ 与准线 $x=4$ 得 $\frac{a^2}{c}=4$、$c=2$，故 $a^2=8$，$b^2=4$；第(2)问用椭圆第二定义把 $|AB|$ 化为 $e(x_A+x_B+8)$，由韦达定理消元，再用 $\tan \theta$ 换元整理；第(3)问把 $|AB|+|DE|$ 表示为 ${\cos }^2\theta {\sin }^2\theta$ 的函数求最小值。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(文)） 设椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），其相应于焦点 $F(2,0)$ 的准线方程为 $x=4$.

(1)求椭圆 $C$ 的方程；

(2)已知过点 $F_1(-2,0)$ 倾斜角为 $\theta$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $A$，$B$ 两点，求证：$|AB|=\frac{4\sqrt{2}}{2-{\cos }^2\theta }$；

(3)过点 $F_1(-2,0)$ 作两条互相垂直的直线分别交椭圆 $C$ 于 $A$，$B$ 和 $D$，$E$，求 $|AB|+|DE|$ 的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $c=2$，$\frac{a^2}{c}=4$ 给出 $a^2=8$，$b^2=a^2-c^2=4$。
2. (2) $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，由第二定义 $|A{F}_1|=e(x_A+4)$，$|B{F}_1|=e(x_B+4)$，$|AB|=e(x_A+x_B+8)$；设直线 $y=k(x+2)$ 代入椭圆，韦达定理给 $x_A+x_B=-\frac{8k^2}{1+2k^2}$，代入并用 $k=\tan \theta$ 化简。
3. (3) 两条垂直弦分别对应 ${\cos }^2\theta$ 与 ${\sin }^2\theta$，通分后 $|AB|+|DE|=\frac{12\sqrt{2}}{2+{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta }$，分母最大在 $\theta =\frac{\pi }{4}$。

✅【答案】

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(1)$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$；(2)见解析；(3)最小值为 $\frac{16\sqrt{2}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由题意，$c=2$，且 $\frac{a^2}{c}=4$，所以 $a^2=8$，$b^2=a^2-c^2=8-4=4$。 所以椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$。 (2)由(1)知 $F_1(-2,0)$ 是椭圆的左焦点，离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，左准线为 $x=-4$。 由椭圆第二定义，$|A{F}_1|=e(x_A+4)$，$|B{F}_1|=e(x_B+4)$，故 $|AB|=|A{F}_1|+|B{F}_1|=e(x_A+x_B+8)$。 当 $\theta \ne \frac{\pi }{2}$ 时，记 $k=\tan \theta$，直线 $AB$：$y=k(x+2)$。 代入 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$，整理得 $(1+2k^2)x^2+8k^{2}x+8k^2-8=0$。 由韦达定理，$x_A+x_B=-\frac{8k^2}{1+2k^2}$。 于是 $|AB|=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(8-\frac{8k^2}{1+2k^2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{8(1+k^2)}{1+2k^2}=\frac{4\sqrt{2}(1+k^2)}{1+2k^2}$。 用 $k=\tan \theta$：$1+k^2=\frac{1}{{\cos }^2\theta }$，$1+2k^2=\frac{{\cos }^2\theta +2{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }=\frac{2-{\cos }^2\theta }{{\cos }^2\theta }$， 所以 $|AB|=\frac{4\sqrt{2}}{2-{\cos }^2\theta }$。 当 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 时，直线 $x=-2$ 与椭圆的交点满足 $y^2=2$，$|AB|=2\sqrt{2}$，而公式给出 $\frac{4\sqrt{2}}{2-0}=2\sqrt{2}$，仍成立。 (3)设直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$，由于 $DE\perp AB$，直线 $DE$ 的倾斜角为 $\frac{\pi }{2}-\theta$（不妨 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，由对称性可设），由(2)得 $|AB|=\frac{4\sqrt{2}}{2-{\cos }^2\theta }$，$|DE|=\frac{4\sqrt{2}}{2-{\sin }^2\theta }$。 所以 $|AB|+|DE|=4\sqrt{2}\left(\frac{1}{2-{\cos }^2\theta }+\frac{1}{2-{\sin }^2\theta }\right)=4\sqrt{2}\cdot \frac{4-{\sin }^2\theta -{\cos }^2\theta }{(2-{\cos }^2\theta )(2-{\sin }^2\theta )}$。 分母 $(2-{\cos }^2\theta )(2-{\sin }^2\theta )=4-2+{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta =2+{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta$， 故 $|AB|+|DE|=\frac{12\sqrt{2}}{2+{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta }=\frac{12\sqrt{2}}{2+\frac{1}{4}{\sin }^{2}2\theta }$。 当 ${\sin }^{2}2\theta =1$，即 $\theta =\frac{\pi }{4}$ 或 $\frac{3\pi }{4}$ 时，分母取得最大值 $\frac{9}{4}$，此时 $|AB|+|DE|$ 取得最小值 $\frac{12\sqrt{2}}{\frac{9}{4}}=\frac{16\sqrt{2}}{3}$。 所以 $|AB|+|DE|$ 的最小值为 $\frac{16\sqrt{2}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆第二定义与焦点弦

核心方法：$|AB|=e(x_A+x_B+8)$ 消元，$k=\tan \theta$ 换元；通分求和定最值

避坑指南：$\theta =\frac{\pi }{2}$ 时公式仍成立要单独验证；$|AB|+|DE|=\frac{12\sqrt{2}}{2+\frac{1}{4}{\sin }^{2}2\theta }$，分母最大在 $\theta =\frac{\pi }{4}$，最小值 $\frac{16\sqrt{2}}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 安徽文第 18 题、2010 上海文第 23 题同为椭圆综合。

结论推广：焦点弦长用第二定义 $|AF|=ed(A,\text{准线})$ 转化为横坐标。

方法推广：两条垂直弦的和差最值，通分后常归结为 ${\sin }^{2}2\theta$ 的最值，端点与 $\frac{\pi }{4}$ 都要比较。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.07 焦点三角形专题

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-18 解-椭圆与抛物线轨迹
• 2010-上海卷文-23 解-椭圆向量与中点弦
• 2009-辽宁卷文-22 解-椭圆方程与斜率定值
• 2010-浙江卷文-22 解-抛物线与直径圆