2008-山东卷文-20 解-数表数列与行和

本题导读

$2b_n=-S_n{S}_{n-1}\Rightarrow \frac{1}{S_n}-\frac{1}{S_{n-1}}=\frac{1}{2}$；$S_n=\frac{2}{n+1}$，$b_n=\frac{1}{1}(n=1)$ 或 $-\frac{2}{n(n+1)}(n⩾2)$；$a_{81}$ 为第 $13$ 行第 $3$ 项 $\Rightarrow q^2=4\Rightarrow q=2$，行和 $=\frac{2(1-2^k)}{k(k+1)}$.

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(文)） 将数列 $\{a_n\}$ 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： $a_1$ $a_2{a}_3$ $a_4{a}_5{a}_6$ $a_7{a}_8{a}_9{a}_{10}$ $\cdots \cdots$ 记表中的第一列数 $a_1$，$a_2$，$a_4$，$a_7$，$\cdots$ 构成的数列为 $\{b_n\}$，$b_1=a_1=1$. $S_n$ 为数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $\frac{2b_n}{b_n{S}_n-S_n^2}=1$（$n⩾2$）.

(1)证明数列 $\left\{\frac{1}{S_n}\right\}$ 成等差数列，并求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式；

(2)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数. 当 $a_{81}=-\frac{4}{91}$ 时，求上表中第 $k$（$k⩾3$）行所有项和的和.

🔍【思路分析】

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(1)$2b_n=b_n{S}_n-S_n^2=S_n(b_n-S_n)=-S_n{S}_{n-1}$，代入 $b_n=S_n-S_{n-1}$ 整理得 $\frac{1}{S_n}-\frac{1}{S_{n-1}}=\frac{1}{2}$. (2)前 $12$ 行共 $78$ 项，$a_{81}$ 是第 $13$ 行第 $3$ 项，$b_{13}=a_{79}=-\frac{1}{91}$，$a_{81}=b_{13}{q}^2\Rightarrow q=2$；第 $k$ 行首项 $b_k$、公比 $2$、共 $k$ 项，行和 $=\frac{2(1-2^k)}{k(k+1)}$.

✅【答案】

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(1)数列 $\left\{\frac{1}{S_n}\right\}$ 是首项为 $1$、公差为 $\frac{1}{2}$ 的等差数列，且 $b_n=\{\begin{array}{ll}1,& n=1,\\ -\frac{2}{n(n+1)},& n⩾2.\end{array}$ (2)第 $k$ 行所有项和为 $\frac{2(1-2^k)}{k(k+1)}$（$k⩾3$）

✍【详细解析】

Abstract

(1)当 $n⩾2$ 时，$b_n=S_n-S_{n-1}$，代入 $\frac{2b_n}{b_n{S}_n-S_n^2}=1$ 得 $2b_n=b_n{S}_n-S_n^2=S_n(b_n-S_n)=-S_n{S}_{n-1}$，即 $2(S_n-S_{n-1})=-S_n{S}_{n-1}$. 两边同除以 $S_n{S}_{n-1}$，得 $\frac{1}{S_n}-\frac{1}{S_{n-1}}=\frac{1}{2}$，故 $\left\{\frac{1}{S_n}\right\}$ 是首项为 $\frac{1}{S_1}=1$、公差为 $\frac{1}{2}$ 的等差数列，$\frac{1}{S_n}=1+\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}$，即 $S_n=\frac{2}{n+1}$. $b_1=1$；当 $n⩾2$ 时，$b_n=S_n-S_{n-1}=\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n}=-\frac{2}{n(n+1)}$. (2)前 $n$ 行共有 $\frac{n(n+1)}{2}$ 项，$n=12$ 时共 $78$ 项，故第 $13$ 行从 $a_{79}$ 到 $a_{91}$，$a_{81}$ 是第 $13$ 行第 $3$ 项. $b_{13}=a_{79}=-\frac{2}{13\times 14}=-\frac{1}{91}$. 由 $a_{81}=b_{13}{q}^2=-\frac{4}{91}$ 得 $q^2=4$，又 $q>0$，故 $q=2$. 第 $k$ 行（$k⩾3$）的首项为 $b_k=-\frac{2}{k(k+1)}$，共 $k$ 项，公比为 $2$，其和为 $b_k\cdot \frac{1-2^k}{1-2}=\left(-\frac{2}{k(k+1)}\right)(1-2^k)\cdot (-1)=\frac{2(1-2^k)}{k(k+1)}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数表结构下的递推数列

核心方法：$b_n=S_n-S_{n-1}$ 化递推式为 $\frac{1}{S_n}$ 的等差结构；数表项定位用 $\frac{n(n-1)}{2}$

避坑指南：$a_{81}$ 的定位：前 $12$ 行共 $78$ 项，第 $13$ 行首项是 $a_{79}$，$a_{81}$ 是该行第 $3$ 项（$q^2=4$），行序别数错；等比求和公式 $frac1-q^{k}1-q$ 的符号要落到正结果

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数表数列是递推数列的情景化（2009 浙江文 20、2009 湖北文 19）

结论推广：行和、对角线和、逐行等比/等差混排都是常见变式

方法推广：定位公式 $1+\frac{n(n-1)}{2}$ 与递推化简 $\frac{1}{S_n}$ 型是两个核心工具

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-20 解-等差数列通项等比
• 2009-湖北卷文-19 解-等差数列与递推关系
• 2009-广东卷文-20 解-数列递推裂项
• 2010-新课标卷文-17 解-等差数列前n项和最值