2008-广东卷文-21 解-数列特征根与交替求和

本题导读

$a_n=\frac{8}{5}-\frac{3}{5}(-\frac{2}{3}{)}^{n-1}$；$b_n=(-1{)}^{n+1}$；$c_n=\frac{8}{5}n(-1{)}^{n+1}-\frac{3}{5}n(\frac{2}{3}{)}^{n-1}$，$S_n=-5+\frac{2}{5}(-1{)}^{n+1}(2n+1)+\frac{9}{5}(n+3)(\frac{2}{3}{)}^n$.

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(文)） 设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_2=2$，$a_n=\frac{1}{3}(a_{n-1}+2a_{n-2})$（$n=3,4,\cdots$）．数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1=1$，$b_n$（$n=2,3,\cdots$）是非零整数，且对任意的正整数 $m$ 和自然数 $k$，都有 $-1⩽b_m+b_{m+1}+\cdots +b_{m+k}⩽1$.

(1)求数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式；

(2)若 $c_n=n{a}_n{b}_n$（$n=1,2,\cdots$），求数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

🔍【思路分析】

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(1)递推式即 $3a_n=a_{n-1}+2a_{n-2}$，特征根 $1$ 与 $-\frac{2}{3}$，待定系数解 $A$、$B$；$b_n$ 的约束对一切 $m,k$ 成立，取 $k=0$ 得 $b_m=\pm 1$，取 $k=1$ 排除相邻同号. (2)$(-\frac{2}{3}{)}^{n-1}$ 与 $(-1{)}^{n+1}$ 相乘后负号相消，$c_n$ 拆成两部分分别求和.

✅【答案】

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(1)$a_n=\frac{8}{5}-\frac{3}{5}(-\frac{2}{3}{)}^{n-1}$，$b_n=(-1{)}^{n+1}$；(2)$S_n=-5+\frac{2}{5}(-1{)}^{n+1}(2n+1)+\frac{9}{5}(n+3)(\frac{2}{3}{)}^n$

✍【详细解析】

Abstract

(1)数列 $\{a_n\}$ 的特征方程为 $3r^2-r-2=0$，即 $(r-1)(3r+2)=0$，所以特征根为 1 和 $-\frac{2}{3}$．设 $a_n=A+B(-\frac{2}{3}{)}^{n-1}$，由 $a_1=1$，$a_2=2$ 得 $A+B=1$，$A-\frac{2}{3}B=2$. 解得 $A=\frac{8}{5}$，$B=-\frac{3}{5}$，故 $a_n=\frac{8}{5}-\frac{3}{5}(-\frac{2}{3}{)}^{n-1}$. 取题设中的 $k=0$，得 $-1⩽b_m⩽1$．由于 $b_m$ 为非零整数，所以 $b_m\in \{-1,1\}$．再取 $k=1$，相邻两项的和不能等于 2 或 $-2$，故 $b_{m+1}=-b_m$．结合 $b_1=1$，得到 $b_n=(-1{)}^{n+1}$. (2)由上式，$c_n=n{a}_n{b}_n=\frac{8}{5}n(-1{)}^{n+1}-\frac{3}{5}n(\frac{2}{3}{)}^{n-1}$. 因而 $S_n=\frac{8}{5}\sum _{k=1}^{n}k(-1{)}^{k+1}-\frac{3}{5}\sum _{k=1}^{n}k(\frac{2}{3}{)}^{k-1}$. 由等比数列求和公式及其求导形式，$\sum _{k=1}^{n}k(-1{)}^{k+1}=\frac{1+(-1{)}^{n+1}(2n+1)}{4}$，以及 $\sum _{k=1}^{n}k{r}^{k-1}=\frac{1-(n+1)r^n+n{r}^{n+1}}{(1-r{)}^2}$．令 $r=\frac{2}{3}$，代入并化简，得 $S_n=-5+\frac{2}{5}(-1{)}^{n+1}(2n+1)+\frac{9}{5}(n+3)(\frac{2}{3}{)}^n$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列特征根与交替求和

核心方法：特征方程法求 $a_n$；特殊值逼出 $b_n=(-1{)}^{n+1}$；$S_n$ 拆两组用现成求和公式

避坑指南：$(-\frac{2}{3}{)}^{n-1}\cdot (-1{)}^{n+1}=(-1{)}^{2n}(\frac{2}{3}{)}^{n-1}$，负号相消别保留；$b_n$ 的约束要对一切 $m,k$ 成立，只验证前几项是不够的

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性递推数列特征方程法 + 全局约束定交替数列，数列压轴的经典架构

结论推广：$a_n=p{a}_{n-1}+q{a}_{n-2}$ 的通项由 $p{r}^2-r-q=0$ 的两根线性表出

方法推广：全局约束型数列：取 $k$ 的特殊值（0 与 1）先夹逼通项，再验证一般性；混合求和先化简 $c_n$ 的符号结构再拆组

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

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