2008-江西卷理-08 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的综合应用。核心意图在于通过写出两个二项式独立展开的通项公式，建立关于指数的离散不定方程，寻找所有能使总幂次归零的项进行系数累加。

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(理)） ${\left(1+\sqrt[3]{x}\right)}^6{\left(1+\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)}^{10}$ 展开式中的常数项为 ()

A. 1　　　　　　B. 46　　　　　　C. 4245　　　　　　D. 4246

🔍【思路分析】

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1. 分别写出 ${\left(1+x^{\frac{1}{3}}\right)}^6$ 和 ${\left(1+x^{-\frac{1}{4}}\right)}^{10}$ 的二项展开式通项 $T_{r+1}$ 与 $T_{k+1}$。
2. 将两通项相乘，合并底数 $x$ 的指数部分，令总指数等于 0 建立关于 $r,k$ 的方程。
3. 结合 $r,k$ 的取值范围，求出所有整数解对 $(r,k)$，并将对应的组合数系数求和。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设第一个展开式的通项为 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r{\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^r={\mathrm{C}}_6^r{x}^{\frac{r}{3}}$（其中 $0\le r\le 6,r\in \mathbf{Z}$）。 设第二个展开式的通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_{10}^k{\left(x^{-\frac{1}{4}}\right)}^k={\mathrm{C}}_{10}^k{x}^{-\frac{k}{4}}$（其中 $0\le k\le 10,k\in \mathbf{Z}$）。

则乘积展开式的通项乘积项为： ${\mathrm{C}}_6^r\cdot {\mathrm{C}}_{10}^k\cdot x^{\frac{r}{3}-\frac{k}{4}}$

令指数为 0 求解常数项： $\frac{r}{3}-\frac{k}{4}=0⟹4r=3k$

由于 $r,k$ 为非负整数且满足范围制约，寻找符合方程的解对：

• 当 $r=0$ 时，$k=0$，对应的系数项为：${\mathrm{C}}_6^0\cdot {\mathrm{C}}_{10}^0=1\times 1=1$；
• 当 $r=3$ 时，$k=4$，对应的系数项为：${\mathrm{C}}_6^3\cdot {\mathrm{C}}_{10}^4=20\times 210=4200$；
• 当 $r=6$ 时，$k=8$，对应的系数项为：${\mathrm{C}}_6^6\cdot {\mathrm{C}}_{10}^8=1\times 45=45$。

将所有符合常数项的系数进行相加： $\text{常数项总和}=1+4200+45=4246$

正确答案为：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式通项公式 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$；离散变量的穷举匹配。
2. 核心方法：通项方程法。
3. 避坑指南：容易误以为只有一组解而漏掉隐藏的边界解（如 $r=0,k=0$ 或 $r=6,k=8$）。务必按单调顺序完整穷举。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是二项式定理通项求特定项系数的经典升级版，由单括号展开延伸为双括号乘积。
2. 结论推广: 对于 $(1+x^p{)}^m(1+x^{-q}{)}^n$ 的乘积常数项，本质等价于寻找所有满足 $pr=qk$ 的非负整数格点对，其总常数项为 $\sum {\mathrm{C}}_m^r{\mathrm{C}}_n^k$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷理-06 单-二项式定理
• 2009-四川卷文-14 填-二项式常数项
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