2008-湖北卷理-04 单-对数

本题导读

本题考查复杂复合函数的定义域求解。需要同时考虑分母不为零、二次根式下代数式非负以及对数函数真数严格大于零的复合约束条件。

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(理)） 函数 $f(x)=\frac{1}{x}\ln \left(\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{-x^2-3x+4}\right)$ 的定义域为 ()

A. $(-\infty ,-4]\cup [2,+\infty )$　　　　　　　　　　　　　B. $(-4,0)\cup (0,1)$

C. $[-4,0)\cup (0,1]$　　　　　　　　　　　　　D. $[-4,0)\cup (0,1)$

🔍【思路分析】

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1. 列出使函数有意义的不等式组：①分母 $x\ne 0$；②两根式内部代数式同时大于或等于 0；③对数真数式相加严格大于 0。
2. 分别解出各个单项不等式的解集，最后求交集。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

要使函数有意义，自变量 $x$ 必须满足以下约束条件： $\{\begin{array}{ll}x\ne 0& \text{(1)}\\ x^2-3x+2\ge 0& \text{(2)}\\ -x^2-3x+4\ge 0& \text{(3)}\\ \sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{-x^2-3x+4}>0& \text{(4)}\end{array}$

• 解不等式②得：$(x-1)(x-2)\ge 0⟹x\le 1$ 或 $x\ge 2$；
• 解不等式③得：$x^2+3x-4\le 0⟹(x+4)(x-1)\le 0⟹-4\le x\le 1$；

求不等式②与③解集的交集： $\{x|x\le 1\text{ 或 }x\ge 2\}\cap \{x|-4\le x\le 1\}=\{x|-4\le x\le 1\}$

• 分析不等式④（对数真数约束）： 在交区间 $[-4,1]$ 上，两个算术根式均有意义且不小于 0。要使得它们之和严格大于 0，只需两个根式不同时为 0。 令 $x^2-3x+2=0⟹x=1$ 或 $x=2$； 令 $-x^2-3x+4=0⟹x=1$ 或 $x=-4$。 可见当且仅当 $x=1$ 时，两根式同时为 0，此时真数为 0，对数无意义。因此必须排除 $x=1$。

结合条件① $x\ne 0$，将所有条件汇总取交集： $[-4,1]\setminus \{0,1\}=[-4,0)\cup (0,1)$

正确答案为：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数定义域的多元约束方程组建立（分式、根式、对数式三位一体）。
2. 核心方法：解析代数交集法。
3. 避坑指南：本题最大的陷阱在端点 $x=1$ 的开闭问题。由于 $x=1$ 会使两个根式内部同时退化为 0，导致对数真数为 0，因而 $x=1$ 必须排除（即开区间），若不细心极易误选 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题对常规一元二次不等式的求解集进行了双层嵌套，并利用对数函数真数非零的临界点设伏，是一道极佳的考查运算细致度的基本功题。
2. 结论推广: 对于函数 $y=\ln (\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)})$ 的定义域，其等价于不等式组 $\{x|f(x)\ge 0\}\cap \{x|g(x)\ge 0\}\setminus \{x|f(x)=0\text{ 且 }g(x)=0\}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数
• 2009-大纲卷II文-03 单-对数函数奇偶对称