2008-湖南卷理-02 单-绝对值不等式

本题导读

本题考查常用逻辑用语与不等式解集的综合判定。核心意图是通过准确解出两个不等式的对应解集，利用集合的包含关系确定命题的必要不充分性。

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(理)） “$|x-1|<2$ 成立”是“$x(x-3)<0$ 成立”的 ()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解绝对值不等式 $|x-1|<2$，求出其解集集合 $P$。
2. 解一元二次不等式 $x(x-3)<0$，求出其解集集合 $Q$。
3. 对比两集合的包含关系：若 $Q\text{varsubseteq}P$，则 $P$ 是 $Q$ 的必要不充分条件。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解绝对值不等式 $|x-1|<2$： $-2<x-1<2⟹-1<x<3$ 记该解集为集合 $P=\{x|-1<x<3\}$。

解一元二次不等式 $x(x-3)<0$： $0<x<3$ 记该解集为集合 $Q=\{x|0<x<3\}$。

显然，集合 $Q$ 是集合 $P$ 的真子集（$Q\text{varsubseteq}P$），即：

• 当 $x\in Q$ 时，必有 $x\in P$（充分性成立）；
• 当 $x\in P$ 时，不一定有 $x\in Q$（例如 $x=-0.5\in P$ 但 $-0.5\notin Q$，充分性不成立）。

所以，“$|x-1|<2$ 成立”（集合 $P$）是“$x(x-3)<0$ 成立”（集合 $Q$）的必要不充分条件。

正确答案为：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由条件 $A⟹B$ 建立的逻辑充要关系；利用不等式的开区间范围进行数轴圈层比对。
2. 核心方法：集合包含法。将“$A$ 是 $B$ 的什么条件”转化为判定解集范围的包含关系（小集合能推出大集合）。
3. 避坑指南：解绝对值不等式时注意两端加减的准确性；在最后判定时，注意题目问的是“前者是后者的什么条件”，前大后小代表必要不充分，切勿颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 融合了高一两阶不等式的求解与逻辑用语判定，属于典型的工具性交汇基础题。
2. 结论推广: 设条件 $P$ 对应的区间为 $(a,b)$，条件 $Q$ 对应的区间为 $(c,d)$。若满足 $a\le c$ 且 $b\ge d$（且等号不同时成立），则 $P$ 恒为 $Q$ 的必要不充分条件。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

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