2008-福建卷文-14 填-直线与圆相离

本题导读

圆配方出圆心半径，“没有公共点”即相离：$d>r$，对 $m$ 解绝对值不等式.

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(文)） 若直线 $3x+4y+m=0$ 与圆 $x^2+y^2-2x+4y+4=0$ 没有公共点，则实数 $m$ 的取值范围是　　　.

🔍【思路分析】

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圆心 $(1,-2)$，半径 $r=1$；$d=\frac{|3-8+m|}{5}>1$，即 $|m-5|>5$，得 $m<0$ 或 $m>10$.

✅【答案】

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$(-\infty ,0)\cup (10,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

圆的方程配方：$(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=1$，圆心 $(1,-2)$，半径 $r=1$. 直线与圆没有公共点等价于圆心到直线的距离大于半径： $d=\frac{|3\times 1+4\times (-2)+m|}{5}=\frac{|m-5|}{5}>1$. 即 $|m-5|>5$，解得 $m<0$ 或 $m>10$， 故 $m\in (-\infty ,0)\cup (10,+\infty )$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆的位置关系

核心方法：圆心到直线的距离 $d$ 与半径 $r$ 比较

避坑指南：配方时常数项移向别算错：$x^2-2x+y^2+4y+4=0$ 的半径是 $1$ 不是 $sqrt5$；$|m-5|>5$ 去绝对值要拆两段

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆位置关系判定（2012 安徽文 9）

结论推广：相离改相切时 $|m-5|=5$，弦长问题则结合半弦长勾股定理

方法推广：距离公式 + 半径比较是唯一正路，联立判别式也可但计算量大

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2010-四川卷文-14 填-直线与圆弦长
• 2011-湖北卷文-14 填-直线与圆弦长
• 2012-福建卷文-07 单-直线与圆弦长
• 2012-安徽卷文-09 单-直线与圆位置关系定参