2008-辽宁卷文-10 单-受限排列分步计数

本题导读

第一道取甲时第四道取丙（$1$ 种），第一道取乙时第四道取甲或丙（$2$ 种），余下两道工序由剩余 $4$ 人选 $2$ 排列：$A_4^2=12$，共 $(1+2)\times 12=36$ 种.

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(文)） 一生产过程有 $4$ 道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等 $6$ 名工人中安排 $4$ 人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 $1$ 人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排 $1$ 人，则不同的安排方案共有()

A. $24$ 种　　　　　B. $36$ 种　　　　　C. $48$ 种　　　　　D. $72$ 种

🔍【思路分析】

破题导航

第一道与第四道是受限位置，先安排；甲既可能去第一道又可能去第四道，两受限位置的人选集合有交集，必须分类避免重复.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一道工序从甲、乙中选，第四道从甲、丙中选，两道工序都可能用到甲，需按甲的去向分类： 情形一：第一道安排甲，则第四道只能安排丙，有 $1$ 种；情形二：第一道安排乙，则第四道可安排甲或丙，有 $2$ 种． 两类情形下，前两道工序共 $1+2=3$ 种安排；剩余两道工序由剩下的 $4$ 名工人中选 $2$ 人并排列，有 $A_4^2=4\times 3=12$ 种． 由分步乘法原理，共有 $3\times 12=36$ 种不同的安排方案．故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：特殊位置优先的排列组合

核心方法：先安排受限的第一、四道工序，再安排其余，按甲的去向分类

避坑指南：第一道与第四道都可能用甲，两类受限位置取值集合有交集，必须分类去重；前两道安排数 $1+2=3$，剩余两道是排列 $A_4^2=12$ 不是组合

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材计数原理”特殊元素、特殊位置优先”

结论推广：受限位置先安排，取值集合有交集时分类讨论

方法推广：多个受限位置取值集合相交时必须分类，避免重复计数；分类后类内分步、类间相加

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-06 单-组合及组合数公式
• 2010-辽宁卷文-13 填-卡片排列概率