2008-辽宁卷文-16 填-三角最值均值不等式

本题导读

$y=\frac{2{\sin }^{2}x+1}{2\sin x\cos x}=\frac{3{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{2\sin x\cos x}=\frac{3t^2+1}{2t}$（$t=\tan x>0$），$\frac{3t^2+1}{2t}=\frac{3t}{2}+\frac{1}{2t}⩾2\sqrt{\frac{3}{4}}=\sqrt{3}$，当 $t=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时取等，最小值为 $\sqrt{3}$.

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(文)） 设 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，则函数 $y=\frac{2{\sin }^{2}x+1}{\sin 2x}$ 的最小值为　　　.

🔍【思路分析】

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用 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 展开分母，分子分母同除以 ${\cos }^{2}x$ 化为关于 $\tan x$ 的式子；$x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 时 $\tan x>0$，均值不等式可用.

✅【答案】

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$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由二倍角公式，$\sin 2x=2\sin x\cos x$，故 $y=\frac{2{\sin }^{2}x+1}{2\sin x\cos x}$．又 $1={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$，所以 $2{\sin }^{2}x+1=3{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$，于是 $y=\frac{3{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{2\sin x\cos x}$． 分子分母同除以 ${\cos }^{2}x$（$x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 时 $\cos x>0$），令 $t=\tan x>0$，得 $y=\frac{3t^2+1}{2t}=\frac{3t}{2}+\frac{1}{2t}$． 由均值不等式，$\frac{3t}{2}+\frac{1}{2t}⩾2\sqrt{\frac{3t}{2}\cdot \frac{1}{2t}}=2\sqrt{\frac{3}{4}}=\sqrt{3}$，当且仅当 $\frac{3t}{2}=\frac{1}{2t}$，即 $t^2=\frac{1}{3}$，$t=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时取等号． 所以函数的最小值为 $\sqrt{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数最值与均值不等式

核心方法：化弦为切，令 $t=\tan x>0$，用 $\frac{3t}{2}+\frac{1}{2t}⩾2\sqrt{\frac{3}{4}}$

避坑指南：$1={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$ 把分子 $2{\sin }^{2}x+1$ 化为 $3{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$ 是关键；均值不等式取等条件 $t=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 要写出，最小值 $\sqrt{3}$ 不是 $\frac{3}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材同角关系与均值不等式

结论推广：$\sin 2x=2\sin x\cos x$，$1={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$；化弦为切后 $\frac{3t}{2}+\frac{1}{2t}⩾\sqrt{3}$

方法推广：三角最值常用”化同名、化单角、化切”三化；均值不等式用前先确认变量为正

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-18 解-三角最值
• 2007-北京卷理-16 解-线面所成角其最值