2008-辽宁卷理-10 单-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的定义及其几何应用。核心考查意图是通过抛物线定义将“点到准线的距离”等价转化为“点到焦点的距离”，从而利用两点之间线段最短的几何性质解决最值问题。

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(理)） 已知点 $P$ 是抛物线 $y^2=2x$ 上的一个动点，则点 $P$ 到点 $(0,2)$ 的距离与 $P$ 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ()

A. $\frac{\sqrt{17}}{2}$　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. $\sqrt{5}$　　　　　　　D. $\frac{9}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 写出抛物线的焦点坐标及准线方程。
2. 根据抛物线的定义，将点 $P$ 到准线的距离转化为点 $P$ 到焦点的距离 $|PF|$。
3. 将距离之和转化为 $|PA|+|PF|$，利用两点之间线段最短可知，当 $A,P,F$ 三点共线时取得最小值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由抛物线 $y^2=2x$ 可得 $2p=2⟹p=1$， 其焦点为 $F\left(\frac{1}{2},0\right)$，准线方程为 $x=-\frac{1}{2}$。 记定点 $A(0,2)$。根据抛物线的定义，动点 $P$ 到准线的距离等于 $P$ 到焦点 $F$ 的距离，即 $d(P,l)=|PF|$。 因此，距离之和 $d(P,A)+d(P,l)=|PA|+|PF|$。 当且仅当 $A,P,F$ 三点共线且 $P$ 位于线段 $AF$ 上时，距离之和取得最小值， 最小值为线段 $AF$ 的长度： $|AF|=\sqrt{{\left(0-\frac{1}{2}\right)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+4}=\frac{\sqrt{17}}{2}$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的几何定义 $|PF|=d(P,l)$，平面几何中两点间距离的极值性质。
2. 核心方法：几何转化法。
3. 避坑指南：注意焦点坐标的求解，容易将 $y^2=2x$ 的焦点错求为 $(1,0)$ 或 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是解析几何中利用圆锥曲线定义化折为直的经典设问，属于历届高考中必考的传统题型。
2. 结论推广: 对于抛物线 $y^2=2px$ ($p>0$) 上的动点 $P$ 与平面内任意定点 $A$， $P$ 到 $A$ 的距离与到准线的距离之和的最小值为 $|AF|$（当 $A$ 位于抛物线开口内部或边界上时）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-09 填-抛物线弦长
• 2009-北京卷理-08 单-抛物线
• 2009-四川卷文-13 填-抛物线焦准距