2008-重庆卷文-04 单-定比分点与向量比

本题导读

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{PB}$，故 $\overrightarrow{PB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{BA}$，$\mu =-\frac{3}{2}$.

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(文)）

若点 $P$ 分有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 所成的比为 $-\frac{1}{3}$，则点 $B$ 分有向线段 $\overrightarrow{PA}$ 所成的比是()

A. $-\frac{3}{2}$　　　　　　B. $-\frac{1}{2}$　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

定比 $\lambda =-\frac{1}{3}$ 即 $\overrightarrow{AP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{PB}$；把 $\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{PB}$ 都化到 $\overrightarrow{AB}$ 上，再按“起点到分点比分点到终点”读出新比.

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

由定义，$\overrightarrow{AP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{PB}$．又 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PB}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{PB}$，所以 $\overrightarrow{PB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$．设点 $B$ 分有向线段 $\overrightarrow{PA}$ 所成的比为 $\mu$，则 $\overrightarrow{PB}=\mu \overrightarrow{BA}=-\mu \overrightarrow{AB}$．于是 $-\mu =\frac{3}{2}$，即 $\mu =-\frac{3}{2}$．故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：定比分点与向量线性运算

核心方法：$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$ 展开为 $\overrightarrow{AB}$ 的倍数，再读新比

避坑指南：比 $\lambda =-\frac{1}{3}$ 是负值说明 $P$ 在线段 $BA$ 延长线上（$P$ 靠近 $A$ 外侧）；$B$ 分 $\overrightarrow{PA}$ 的比是 $\overrightarrow{PB}$ 与 $\overrightarrow{BA}$ 之比，方向别接反

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：定比分点问题，向量与解析几何的接口

结论推广：$\lambda =-\frac{1}{3}$ 表示 $P$ 在 $BA$ 延长线上且 $|AP|=\frac{1}{3}|PB|$

方法推广：定比问题统一化到 $\overrightarrow{AB}$ 的倍数上，避免逐段有向长度正负出错

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.11 定比分点公式及定比点差法

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷理-04 单-向量坐标运算

• 2009-重庆卷理-04

• 2005-重庆卷理-04 单-线段的中点坐标公式