2008-重庆卷文-22 解-对数化递推与乘积恒成立

本题导读

(1)$a_3=16$，$a_4=\frac{1}{256}$；$a_n=2^{(-2{)}^{n-1}}$ 型，$a_{2008}=2^{(-2{)}^{2007}}$；(2)令 $b_n={\log }_2{a}_n$：$b_1=1$，${\sigma }_3=2-\frac{b_2}{2}$、${\sigma }_5=\frac{15}{4}-\frac{41}{8}{b}_2$；${\sigma }_2⩾\frac{3}{2}$ 给 $b_2⩾\frac{1}{2}$，$b_2>\frac{1}{2}$ 时 ${\sigma }_5<\frac{3}{2}$ 矛盾，故 $a_2=\sqrt{2}$.

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(文)） 设各项均为正数的数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2$，$a_n=a_{n+1}^{\frac{3}{2}}{a}_{n+2}$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）．

(1)若 $a_2=\frac{1}{4}$，求 $a_3$，$a_4$，并猜想 $a_{2008}$ 的值（不需证明）；

(2)若 $2\sqrt{2}⩽a_1{a}_2\cdots a_n<4$ 对 $n⩾2$ 恒成立，求 $a_2$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)递推式两边同取对数可看清结构：指数每步乘 $(-2)$. (2)乘积条件取对数化为部分和不等式；${\sigma }_n$ 是 $b_2$ 的一次式，先用 ${\sigma }_2$ 卡下界，再用 ${\sigma }_5$ 卡上界，两向夹逼锁定 $b_2$；最后对 $b_2=\frac{1}{2}$ 归纳验证 ${\sigma }_n=2-\frac{1}{2^{n-1}}$.

✅【答案】

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(1)$a_3=16$，$a_4=\frac{1}{256}$，$a_{2008}=2^{(-2{)}^{2007}}$；(2)$a_2=\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由 $a_1=2$，$a_2=\frac{1}{4}$：$n=1$ 时 $2={\left(\frac{1}{4}\right)}^{\frac{3}{2}}{a}_3=\frac{1}{8}{a}_3$，得 $a_3=16$；$n=2$ 时 $\frac{1}{4}=16^{\frac{3}{2}}{a}_4=64a_4$，得 $a_4=\frac{1}{256}$．写成 2 的幂：$a_1=2^1$，$a_2=2^{-2}$，$a_3=2^4$，$a_4=2^{-8}$，指数依次为 $1,-2,4,-8$，恰为 $(-2{)}^0,(-2{)}^1,(-2{)}^2,(-2{)}^3$．猜想 $a_n=2^{(-2{)}^{n-1}}$，故 $a_{2008}=2^{(-2{)}^{2007}}$. (2)各项为正，令 $b_n={\log }_2{a}_n$，则递推式化为 $b_n=\frac{3}{2}{b}_{n+1}+b_{n+2}$，即 $b_{n+2}=b_n-\frac{3}{2}{b}_{n+1}$，且 $b_1=1$，记 $b_2=t$（$t>0$）．记 ${\sigma }_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$，则 $b_3=1-\frac{3}{2}t$，$b_4=\frac{13}{4}t-\frac{3}{2}$，$b_5=\frac{13}{4}-\frac{51}{8}t$，于是 ${\sigma }_2=1+t$，${\sigma }_3=2-\frac{t}{2}$，${\sigma }_5=\frac{15}{4}-\frac{41}{8}t$．由 ${\sigma }_2=1+t⩾\frac{3}{2}$（$n=2$ 的下界），得 $t⩾\frac{1}{2}$．若 $t>\frac{1}{2}$，则 ${\sigma }_5=\frac{15}{4}-\frac{41}{8}t<\frac{15}{4}-\frac{41}{16}=\frac{19}{16}<\frac{3}{2}$，与 $n=5⩾2$ 时 ${\sigma }_5⩾\frac{3}{2}$ 矛盾，故 $t=\frac{1}{2}$，即 $a_2=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$．此时 $b_n$ 依次为 $1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\cdots$，归纳可证 $b_n=2^{-(n-1)}$（$n⩾2$），从而 ${\sigma }_n=2-\frac{1}{2^{n-1}}$，当 $n⩾2$ 时 $\frac{3}{2}⩽{\sigma }_n<2$，即 $2\sqrt{2}⩽a_1{a}_2\cdots a_n<4$ 恒成立，符合题意．综上，$a_2=\sqrt{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：递推数列的对数化与恒成立夹逼

核心方法：取对数化乘积递推为线性递推 $b_{n+2}=b_n-\frac{3}{2}{b}_{n+1}$，累积和是 $b_2$ 的一次式，双向夹逼

避坑指南：乘积不等式取对数后逐项累加，${\sigma }_n$ 才有结构；夹逼要同时用下界（${\sigma }_2$）与上界（${\sigma }_5$），只用一个方向会漏解或多解

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：乘积型递推数列，压轴题的”取对数”通法

结论推广：连乘递推取对数化线性递推；指数按等比倍增的猜想结构 $a_n=a_1^{(-2{)}^{n-1}}$

方法推广：恒成立问题对 $n$ 取若干代表值夹逼参数，比直接求通项更快；夹逼后必须验证取得的值对全体 $n$ 成立

🔗【关联脉络】

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