2008-重庆卷理-07 单-向量

本题导读

本题考查平面直角坐标系中线段定比分点的坐标公式，重点在于通过坐标法建立代数方程求解向量的变比。

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(理)） 若过两点 $P_1(-1,2)$，$P_2(5,6)$ 的直线与 $x$ 轴相交于点 $P$，则点 $P$ 分有向线段 $\overrightarrow{P_1{P}_2}$ 所成的比 $\lambda$ 的值为 ()

A. $-\frac{1}{3}$　　　　　　B. $-\frac{1}{5}$　　　　　　C. $\frac{1}{5}$　　　　　　D. $\frac{1}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 明确点 $P$ 在 $x$ 轴上，其纵坐标必为 0。
2. 利用有向线段定比分点的纵坐标公式 $y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }$ 建立关于 $\lambda$ 的方程。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设点 $P$ 的坐标为 $(x,0)$。 根据有向线段定比分点公式，点 $P$ 的纵坐标满足： $0=\frac{2+6\lambda }{1+\lambda }$ 分子为 0，即 $2+6\lambda =0$，解得 $\lambda =-\frac{1}{3}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线段定比分点公式的分量形式。
2. 核心方法：坐标法，只需提取与已知条件（$x$ 轴交点）相关的纵坐标进行计算，无需解出 $x$ 的值。
3. 避坑指南：注意外分点与内分点的符号区别。当点 $P$ 在线段 $P_1{P}_2$ 的延长线上时，$\lambda$ 的值为负。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材中向量数量积与坐标运算部分的解析几何基础应用。
2. 结论推广：若直线与 $y$ 轴相交，则可利用横坐标公式 $0=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda }$ 快速求得比值 $\lambda =-\frac{x_1}{x_2}$。

🔗【关联脉络】

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