2008-重庆卷理-09 单-立体几何

本题导读

本题是一道考查空间想象能力与抽象逻辑推导的组合体体积比较题。通过运用集合论中的容斥原理，将复杂的几何重叠关系转化为代数不等式进行定量判定。

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(理)） 如图，体积为 $V$ 的大球内有 4 个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面且只有一个交点，4 个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的 4 个顶点. $V_1$ 为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，$V_2$ 为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是 ()

A. $V_1>\frac{V}{2}$　　　B. $V_2<\frac{V}{2}$　　　C. $V_1>V_2$　　　D. $V_1<V_2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设大球半径为 $R$，推导小球的半径和单个小球体积与大球总体积 $V$ 的代数比例。
2. 计算 4 个小球的总体积之和。
3. 利用容斥原理，将大球内部的空间分割为不同覆盖次数的独立区域，通过建立方程组比较 $V_1$ 与 $V_2$ 的大小。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设大球的半径为 $R$，则大球体积 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$。 因为每个小球的球面过大球球心且与大球内切，所以小球的直径为 $R$，半径 $r=\frac{R}{2}$。 单个小球的体积 $v=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{R}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}\cdot \frac{4}{3}\pi R^3=\frac{1}{8}V$。 4 个小球的体积之和为 $4v=4\times \frac{1}{8}V=\frac{1}{2}V$。

设大球内部被小球覆盖 $k$ 次（$k=1,2,3,4$）的区域体积分别为 $A_k$。 则 4 个小球体积之和可以表示为： $A_1+2A_2+3A_3+4A_4=\frac{1}{2}V\text{(1)}$ 4 个小球所覆盖的总体积（即并集体积）为 $A_1+A_2+A_3+A_4$。 由题意，大球内、小球外的黑色部分体积为 $V_2$，则： $A_1+A_2+A_3+A_4=V-V_2\text{(2)}$ 将①式减去②式，得： $A_2+2A_3+3A_4=\frac{1}{2}V-(V-V_2)=V_2-\frac{1}{2}V$ 因为小球之间存在重叠区域，即 $A_2,A_3,A_4$ 不全为 0，所以 $V_2-\frac{1}{2}V>0\Rightarrow V_2>\frac{1}{2}V$（排除B选项）。

小球相交部分的几何体积 $V_1$ 是指被覆盖 2 次及以上的区域总体积，即 $V_1=A_2+A_3+A_4$。 显然有： $V_1=A_2+A_3+A_4\le A_2+2A_3+3A_4=V_2-\frac{1}{2}V$ 所以 $V_1\le V_2-\frac{1}{2}V<V_2$，即 $V_1<V_2$ 恒成立。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：组合体的体积计算，容斥原理在空间几何中的应用。
2. 核心方法：区域元素法，将几何体按重叠次数进行代数划分，避免直接进行复杂的空间立体积分计算。
3. 避坑指南：切忌单纯依靠二维效果图的直观视觉来判断 $V_1$ 与 $V_2$ 的大小，空间球体叠加后其重叠部分的体积会呈非线性收缩，应以代数逻辑关系为准。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于集合论的韦恩图（Venn Diagram）多集合交并集模型在解析立体几何中的投影。
2. 结论推广：在任意有限测度空间中，若若干子集的测度总和恰为全空间测度的一半，则全空间中不属于任何子集的补集测度必然严格大于子集之间重叠部分的纯几何测度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2010-大纲卷I文-12 单-球内四面体体积
• 2010-浙江卷文-08 单-三视图组合体体积
• 2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积