2008-陕西卷文-17 解-三角化简与奇偶性

本题导读

(1)$f(x)=2\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)$，$T=4\pi$，最大值 $2$，最小值 $-2$；(2)$g(x)=2\cos \frac{x}{2}$，偶函数.

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(文)） 已知函数 $f(x)=2\sin \frac{x}{4}\cos \frac{x}{4}+\sqrt{3}\cos \frac{x}{2}$．

(1)求函数 $f(x)$ 的最小正周期及最值；

(2)令 $g(x)=f\left(x+\frac{\pi }{3}\right)$，判断函数 $g(x)$ 的奇偶性，并说明理由．

🔍【思路分析】

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(1)二倍角化 $\sin \frac{x}{2}$ 后与 $\sqrt{3}\cos \frac{x}{2}$ 同名，辅助角打包；周期看 $\omega =\frac{1}{2}$，最值看振幅. (2)先把 $x+\frac{\pi }{3}$ 代入化简：$\frac{x}{2}$ 处恰好凑出 $\frac{\pi }{2}$，正弦化余弦，再验证 $g(-x)=g(x)$.

✅【答案】

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(1)最小正周期 $T=4\pi$，最大值为 $2$，最小值为 $-2$；(2)$g(x)$ 是偶函数

✍【详细解析】

Abstract

(1)由二倍角公式，$2\sin \frac{x}{4}\cos \frac{x}{4}=\sin \frac{x}{2}$，故 $f(x)=\sin \frac{x}{2}+\sqrt{3}\cos \frac{x}{2}=2\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)$．因为 $\omega =\frac{1}{2}$，所以最小正周期 $T=\frac{2\pi }{\frac{1}{2}}=4\pi$．又 $-1⩽\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)⩽1$，所以 $f(x)$ 的最大值为 $2$，最小值为 $-2$. (2)$g(x)=f\left(x+\frac{\pi }{3}\right)=2\sin \left(\frac{x+\frac{\pi }{3}}{2}+\frac{\pi }{3}\right)=2\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}\right)=2\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{2}\right)=2\cos \frac{x}{2}$．定义域为 $\mathbf{R}$，关于原点对称，且 $g(-x)=2\cos \left(-\frac{x}{2}\right)=2\cos \frac{x}{2}=g(x)$，所以 $g(x)$ 是偶函数.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换与正弦型函数性质

核心方法：二倍角降幂合并，辅助角公式打包成 $A\sin (\omega x+\phi )$；$g(x)$ 化为余弦型判奇偶

避坑指南：$2\sin \frac{x}{4}\cos \frac{x}{4}=\sin \frac{x}{2}$，周期 $T=\frac{2\pi }{1/2}=4\pi$，别把 $\omega$ 看成 $\frac{1}{4}$；判断奇偶先说明定义域关于原点对称

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材三角恒等变换章节：化一函数的标准流程

结论推广：$\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{2}\right)=\cos \frac{x}{2}$ 是奇偶互化的常用桥；$f(x+t)$ 型奇偶性判断先代入再化简

方法推广：三角化简四步：降幂（二倍角）$\to$ 同名（辅助角）$\to$ 定性质（周期最值）$\to$ 平移判奇偶

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2008-陕西卷理-17
• 2007-陕西卷理-17 解-正弦型函数图象性质
• 2009-陕西卷理-17