2008-陕西卷理-06 单-不等式

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定、利用基本不等式求最值。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(理)） “$a=\frac{1}{8}$”是“对任意的正数 $x$，$2x+\frac{a}{x}\ge 1$”的 ()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：首先处理恒成立问题。当 $x>0$ 且 $a>0$ 时，利用基本不等式 $2x+\frac{a}{x}\ge 2\sqrt{2a}$ 求出左侧表达式的最小值。要使不等式对任意正数恒成立，只需最小值 $\ge 1$，从而求出 $a$ 的范围。
2. 第二步逻辑：将已知条件“$a=\frac{1}{8}$”与推导出的恒成立集合 $A=\{a|a\ge \frac{1}{8}\}$ 进行比对。小集合能推出大集合，大集合推不出小集合，从而确定条件性质。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

首先探讨“对任意的正数 $x$，$2x+\frac{a}{x}\ge 1$”恒成立时 $a$ 的取值范围： 若 $a\le 0$，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$2x+\frac{a}{x}$ 会趋向于 $-\infty$，不可能恒 $\ge 1$，故 $a>0$。 因为 $x>0,a>0$，由基本不等式得： $2x+\frac{a}{x}\ge 2\sqrt{2x\cdot \frac{a}{x}}=2\sqrt{2a}$ 当且仅当 $2x=\frac{a}{x}$ 即 $x=\sqrt{\frac{a}{2}}$ 时等号成立。 要使 $2x+\frac{a}{x}\ge 1$ 恒成立，只需其最小值不小于 1，即： $2\sqrt{2a}\ge 1⟹8a\ge 1⟹a\ge \frac{1}{8}$ 所以该命题成立的充要条件是 $a\ge \frac{1}{8}$。 设条件 $p:a=\frac{1}{8}$，条件 $q:a\ge \frac{1}{8}$。 由 $p⟹q$ 成立，而 $q/⟹p$ 成立。 因此，“$a=\frac{1}{8}$”是“对任意的正数 $x$，$2x+\frac{a}{x}\ge 1$”的充分不必要条件。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本不等式求最值、充分必要条件的判定法则。
2. 核心方法：集合法判定充要条件：小范围 $⟹$ 大范围。
3. 避坑指南：

• 必须证明 $a\le 0$ 时不成立，确保基本不等式应用的前提条件 $a>0$ 严谨。
• 容易错选为充要条件（C），误以为该范围的边界值就是唯一的取值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题将逻辑条件与代数不等式交织结合，是经典的高考前置创新题型，主要考查学生在动态自变量下的最值界定能力。
2. 结论推广：对任意 $x>0$，$kx+\frac{a}{x}\ge M(k,M>0)$ 恒成立的充要条件为 $a\ge \frac{M^2}{4k}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

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