2009-四川卷理-02 单-对数

本题导读

本题考查分段函数在分界点处的连续性。要求掌握函数连续性的定义，即左极限、右极限与函数值相等。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(理)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}a+{\log }_{2}x& (x\ge 2)\\ \frac{x^2-4}{x-2}& (x<2)\end{array}$ 在点 $x=2$ 处连续，则常数 $a$ 的值是 ()

A. 2　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

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1. 根据连续性定义，函数在 $x=2$ 处连续必须满足：${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=f(2)$。
2. 分别计算左极限、右极限以及 $x=2$ 处的函数值。
3. 建立关于 $a$ 的方程，求出 $a$ 的值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

根据函数连续性的定义，在 $x=2$ 处连续需满足： ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=f(2)$

计算右极限与函数值： $f(2)=a+{\log }_{2}2=a+1$ ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=a+{\log }_{2}2=a+1$

计算左极限： ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{-}}\frac{x^2-4}{x-2}={\lim }_{x\to 2^{-}}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}={\lim }_{x\to 2^{-}}(x+2)=4$

因为函数在 $x=2$ 处连续，所以有： $a+1=4⟹a=3$

故正确选项为 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数在分界点处的连续性判定，极限的求法（消去零因子法）。
2. 核心方法：利用极限极限式 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ 构造方程。
3. 避坑指南：计算左极限时，分子分母在 $x\to 2^{-}$ 时均为 $0$（$\frac{0}{0}$型），不能直接代入，须先因式分解约去零因子 $x-2$ 后再求极限。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于高等数学中“函数连续性”概念向高中数学的渗透。分段函数在分界点处的连续性是沟通极限与函数的重要桥梁。
2. 结论推广：若分段函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}g(x),& x\ge x_0\\ h(x),& x<x_0\end{array}$ 在 $x=x_0$ 处连续，且 $g(x_0)$ 有定义，则必有 $g(x_0)={\lim }_{x\to x_0^{-}}h(x)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-01 填-对数反函数
• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2011-江苏卷-02 填-对数型复合函数单调区间