2009-四川卷理-21 解-导数

本题导读

本题是一道集函数基本性质、极限运算与导数应用为一体的综合压轴大题。核心考查分类讨论思想在对数底数区间判定中的应用，以及利用导数精细化分析开区间内函数极值的存在性与具体值。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(理)） 已知 $a>0$，且 $a\ne 1$ 函数 $f(x)={\log }_a(1-a^x)$．

(1) 求函数 $f(x)$ 的定义域，并判断 $f(x)$ 的单调性；

(2) 若 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，求 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a^{f(n)}}{a^n+a}$；

(3) 当 $a=\mathrm{e}$ ($\mathrm{e}$ 为自然对数的底数) 时，设 $h(x)=(1-{\mathrm{e}}^{f(x)})(x^2-m+1)$．若函数 $h(x)$ 的极值存在，求实数 $m$ 的取值范围以及函数 $h(x)$ 的极值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：根据对数真数大于零的原则列出不等式 $1-a^x>0$，分 $a>1$ 与 $0<a<1$ 两类解出定义域；随后利用复合函数单调性“同增异减”原则判定其单调性。
2. 第二问：首先化简分子 $a^{f(n)}=1-a^n$。由于 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，结合第一问的定义域判定可知必须满足 $0<a<1$ 才能使自变量有意义，进而利用无穷小量求出极限。
3. 第三问：将 $a=\mathrm{e}$ 代入化简得到 $h(x)={\mathrm{e}}^x(x^2-m+1)$，定义域为 $(-\infty ,0)$。求导得 $h^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x[(x+1{)}^2-m]$，通过分析导函数在定义域内的零点及变号情况，分 $m\ge 1$ 与 $0<m<1$ 讨论极值存在性并求出极值。

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当 $a>1$ 时， $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty ,0)$，在 $(-\infty ,0)$ 上是减函数；当 $0<a<1$ 时， $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty )$，在 $(0,+\infty )$ 上是减函数

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题意，要使函数有意义，需满足 $1-a^x>0⟹a^x<1$。

• 当 $a>1$ 时，由 $a^x<a^0$ 得 $x<0$，此时定义域为 $(-\infty ,0)$；
• 当 $0<a<1$ 时，由 $a^x<a^0$ 得 $x>0$，此时定义域为 $(0,+\infty )$。

对于单调性，设复合函数内层为 $u(x)=1-a^x$：

• 当 $a>1$ 时， $y={\log }_{a}u$ 在 $(0,+\infty )$ 上是增函数，而 $u(x)=1-a^x$ 在 $(-\infty ,0)$ 上是减函数，根据“同增异减”原则， $f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上是减函数；
• 当 $0<a<1$ 时， $y={\log }_{a}u$ 在 $(0,+\infty )$ 上是减函数，而 $u(x)=1-a^x$ 在 $(0,+\infty )$ 上是增函数，根据“同增异减”原则， $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上是减函数。

综上所述，当 $a>1$ 时， $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty ,0)$，在 $(-\infty ,0)$ 上是减函数；当 $0<a<1$ 时， $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty )$，在 $(0,+\infty )$ 上是减函数。

(2) 因为 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，所以 $n\ge 1>0$。 要使 $f(n)={\log }_a(1-a^n)$ 有意义，自变量 $n$ 必须在定义域内。由 (1) 可知，只有当 $0<a<1$ 时，定义域 $(0,+\infty )$ 才包含正整数 $n$。 因此，必须有 $0<a<1$，此时 ${\lim }_{n\to \infty }{a}^n=0$。

对分子进行化简： $a^{f(n)}=a^{{\log }_a(1-a^n)}=1-a^n$ 代入极限式计算得： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a^{f(n)}}{a^n+a}={\lim }_{n\to \infty }\frac{1-a^n}{a^n+a}=\frac{1-0}{0+a}=\frac{1}{a}$

(3) 当 $a=\mathrm{e}>1$ 时，由 (1) 知 $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty ,0)$。 此时 ${\mathrm{e}}^{f(x)}=1-{\mathrm{e}}^x$，代入 $h(x)$ 的表达式中化简得： $h(x)=[1-(1-{\mathrm{e}}^x)](x^2-m+1)={\mathrm{e}}^x(x^2-m+1)(x<0)$

对 $h(x)$ 求导： $h^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x(x^2-m+1)+{\mathrm{e}}^x(2x)={\mathrm{e}}^x(x^2+2x+1-m)={\mathrm{e}}^x[(x+1{)}^2-m]$

函数 $h(x)$ 存在极值的充要条件是导函数 $h^{\prime }(x)$ 在定义域 $(-\infty ,0)$ 内存在变号零点。 因为 ${\mathrm{e}}^x>0$，令 $h^{\prime }(x)=0⟹(x+1{)}^2=m$。 要使方程有解且有变号零点，必须满足 $m>0$，此时方程的根为 $x_1=-1-\sqrt{m}$， $x_2=-1+\sqrt{m}$。 显而易见， $x_1=-1-\sqrt{m}<-1<0$ 恒成立，即 $x_1$ 始终落在定义域内。因此只要 $m>0$，极值就必然存在。 所以实数 $m$ 的取值范围是 $(0,+\infty )$。

下面对 $m$ 的取值范围分类讨论以确定具体极值： ① 当 $m\ge 1$ 时， $\sqrt{m}\ge 1$，则 $x_2=-1+\sqrt{m}\ge 0$ 不在定义域 $(-\infty ,0)$ 内。 此时在 $(-\infty ,0)$ 内只有一个零点 $x_1=-1-\sqrt{m}$。

• 当 $x\in (-\infty ,x_1)$ 时， $h^{\prime }(x)>0$， $h(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in (x_1,0)$ 时， $h^{\prime }(x)<0$， $h(x)$ 单调递减。 所以， $h(x)$ 在 $x=x_1$ 处取得极大值，无极小值。 由于 $x_1^2-m+1=-2x_1$，代入可得极大值为： $h(x_1)={\mathrm{e}}^{x_1}(-2x_1)=2(1+\sqrt{m}){\mathrm{e}}^{-1-\sqrt{m}}$

② 当 $0<m<1$ 时， $0<\sqrt{m}<1$，此时 $x_1=-1-\sqrt{m}\in (-\infty ,0)$ 且 $x_2=-1+\sqrt{m}\in (-\infty ,0)$，两个零点均在定义域内。

• 当 $x\in (-\infty ,x_1)$ 时， $h^{\prime }(x)>0$， $h(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in (x_1,x_2)$ 时， $h^{\prime }(x)<0$， $h(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in (x_2,0)$ 时， $h^{\prime }(x)>0$， $h(x)$ 单调递增。 所以， $h(x)$ 在 $x=x_1$ 处取得极大值，在 $x=x_2$ 处取得极小值。 利用 $x_i^2-m+1=-2x_i$ 化简代入可得： 极大值为 $h(x_1)=2(1+\sqrt{m}){\mathrm{e}}^{-1-\sqrt{m}}$； 极小值为 $h(x_2)={\mathrm{e}}^{x_2}(-2x_2)=2(1-\sqrt{m}){\mathrm{e}}^{-1+\sqrt{m}}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数函数与指数函数的复合定义域；极限的隐性生存条件判断；导数零点的变号区间讨论。
2. 核心方法：两层复合讨论法（先讨论方程根的存在性，再讨论根是否在开区间定义域内）。
3. 避坑指南：

• 第二问极易忽略 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }⟹n>0$ 这个隐藏的定义域约束，从而漏掉对底数 $0<a<1$ 的限定，导致极限无法准确收敛；
• 第三问在求极值时，切忌直接将 $x_1,x_2$ 代入原式进行暴力展开，应利用方程根的代换关系 $x^2-m+1=-2x$ 降次化简，可极大削减代数运算量。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由初等函数性质向高等数学导数工具应用的平滑过渡大题。第三问的函数形如 $P(x){\mathrm{e}}^x$，是高等数学中常微分方程待定系数法以及概率论中正态分布/伽马分布密度函数的典型数学组元，高考常以此类模型考查考生的分析运算能力。
2. 结论推广：对于形如 $h(x)={\mathrm{e}}^x(x^2+ax+b)$ 的函数，其导数形式必为 $h^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x[x^2+(a+2)x+(a+b)]$。其极值点存在的本质取决于判别式 $\Delta =(a+2{)}^2-4(a+b)>0$，且具体的极值中心由边界区间的截断效应决定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-08 单-导数与函数图象
• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线
• 2013-陕西卷文-23 解-反函数与导数比较