2009-安徽卷理-09 单-导数

本题导读

本题考查导数的几何意义、抽象函数方程求导。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(理)） 已知函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上满足 $f(x)=2f(2-x)-x^2+8x-8$，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程是 ()

A. $y=2x-1$　　B. $y=x$　　C. $y=3x-2$　　D. $y=-2x+3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用赋值法，在原方程中令 $x=1$，直接求解出 $f(1)$ 的值，确立切点坐标。
2. 对方程两边关于 $x$ 同时求导（注意右边第一项需要使用复合函数求导法则）。
3. 在求导后的方程中再次令 $x=1$，解出导数值 $f^{\prime }(1)$ 作为切线斜率。
4. 利用点斜式写出最终的切线方程。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：首先确定切点坐标 $(1,f(1))$： 在已知等式 $f(x)=2f(2-x)-x^2+8x-8$ 中，令 $x=1$，代入得： $f(1)=2f(2-1)-1^2+8\times 1-8$ $f(1)=2f(1)-1⟹f(1)=1$ 所以切点坐标为 $(1,1)$。

接下来求导数 $f^{\prime }(1)$： 已知等式两边同时对 $x$ 求导，由复合函数求导法则可得： $f^{\prime }(x)=2f^{\prime }(2-x)\cdot (2-x{)}^{\prime }-2x+8$ $f^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(2-x)-2x+8$ 在导数方程中令 $x=1$，代入得： $f^{\prime }(1)=-2f^{\prime }(2-1)-2\times 1+8$ $f^{\prime }(1)=-2f^{\prime }(1)+6⟹3f^{\prime }(1)=6⟹f^{\prime }(1)=2$ 根据导数的几何意义，切线的斜率 $k=f^{\prime }(1)=2$。

由点斜式写出切线方程： $y-1=2(x-1)⟹y=2x-1$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数几何意义中切点与斜率的对应；抽象函数求导中的链式法则（复合求导）。
2. 核心方法：特值赋值法。
3. 避坑指南：对 $2f(2-x)$ 求导时，内层函数 $2-x$ 的导数 $-1$ 极其容易被漏掉，一旦漏掉负号会导致算出 $f^{\prime }(1)$ 无解或结果错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中导数运算性质与代数式联立解抽象方程的创新融合题。
2. 结论推广：若函数满足 $f(x)=b\cdot f(2a-x)+g(x)$，在对称点 $x=a$ 处必有 $f(a)=\frac{g(a)}{1-b}$，且 $f^{\prime }(a)=\frac{g^{\prime }(a)}{1+b}(b\ne \pm 1)$。本题代入 $a=1,b=2$，可作快速核验。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-08 单-导数与函数图象
• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线
• 2013-陕西卷文-23 解-反函数与导数比较