2009-广东卷理-03 单-对数

本题导读

本题考查指数函数与对数函数的互为反函数关系。通过图象所过的点求出底数 $a$，从而确定反函数的解析式。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(理)） 若函数 $y=f(x)$ 是函数 $y=a^x$ ($a>0$，且 $a\ne 1$) 的反函数，其图象经过点 $(\sqrt{a},a)$，则 $f(x)=$ ()

A. ${\log }_{2}x$　　　　　　B. ${\log }_{\frac{1}{2}}x$　　　　　　C. $\frac{1}{2^x}$　　　　　　D. $x^2$

🔍【思路分析】

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1. 由互为反函数的性质得到 $f(x)={\log }_{a}x$。

2. 将点 $(\sqrt{a},a)$ 代入反函数解析式，列出关于 $a$ 的方程，求出 $a$ 值，进而得到 $f(x)$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $y=f(x)$ 是 $y=a^x$ 的反函数，所以 $f(x)={\log }_{a}x$。 又因 $f(x)$ 的图象经过点 $(\sqrt{a},a)$， 所以 $a={\log }_a\sqrt{a}$。 即 $a={\log }_a{a}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$。 从而 $f(x)={\log }_{\frac{1}{2}}x$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数函数与对数函数的反函数关系。

2. 核心方法：利用点在曲线上，代入坐标构造方程求解待定系数。

3. 避坑指南：极易混淆原函数与反函数的对应关系，切忌误将坐标代入原函数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材中对指数函数与对数函数互为反函数的经典探讨，属于必考的基础概念。

2. 结论推广：若 $f(x)={\log }_{a}x$ 的图象经过点 $(a^m,a)$，则有 $a=m$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-01 填-对数反函数
• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2011-江苏卷-02 填-对数型复合函数单调区间