2009-江西卷文-19 解-解三角形与向量

本题导读

考查解三角形。(1) $C=\frac{\pi }{4}$；(2) $ab=\sqrt{2}(1+\sqrt{3})$ 与正弦定理联立得 $a=\sqrt{2}$，$b=1+\sqrt{3}$，$c=2$。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(文)） $△ABC$ 中，$A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，$A=\frac{\pi }{6}$，$(1+\sqrt{3})c=2b$.

(1) 求 $C$；

(2) 若 $\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CA}=1+\sqrt{3}$，求 $a$，$b$，$c$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 边比化角比：$\frac{b}{c}=\frac{\sin B}{\sin C}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$B=\frac{5\pi }{6}-C$。
2. $\sin \left(\frac{5\pi }{6}-C\right)=\frac{1}{2}\cos C+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin C$，比值得 $\frac{1}{2}\cot C+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$\cot C=1$，$C=\frac{\pi }{4}$。
3. (2) $\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CA}=ab\cos C$，得 $ab=\sqrt{2}(1+\sqrt{3})$。
4. 正弦定理：$a=\frac{c\sin A}{\sin C}=\frac{c}{\sqrt{2}}$，$b=\frac{(1+\sqrt{3})c}{2}$，代入 $ab$ 解出 $c=2$，进而 $a=\sqrt{2}$，$b=1+\sqrt{3}$。

✅【答案】

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(1) $C=\frac{\pi }{4}$；(2) $a=\sqrt{2}$，$b=1+\sqrt{3}$，$c=2$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $(1+\sqrt{3})c=2b$ 及正弦定理，$\frac{\sin B}{\sin C}=\frac{b}{c}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$。 又 $A=\frac{\pi }{6}$，故 $B=\frac{5\pi }{6}-C$， $\sin B=\sin \left(\frac{5\pi }{6}-C\right)=\frac{1}{2}\cos C+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin C$。 于是 $\frac{\frac{1}{2}\cos C+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin C}{\sin C}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，即 $\frac{1}{2}\cot C=\frac{1}{2}$，得 $\cot C=1$。 由 $C\in (0,\pi )$，得 $C=\frac{\pi }{4}$。 (2) $\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CA}=|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{CA}|\cos C=ab\cos \frac{\pi }{4}=1+\sqrt{3}$， 故 $ab=\sqrt{2}(1+\sqrt{3})$。 由正弦定理，$a=\frac{c\sin A}{\sin C}=\frac{c\cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{c}{\sqrt{2}}$，且 $b=\frac{(1+\sqrt{3})c}{2}$。 代入 $ab$：$\frac{c}{\sqrt{2}}\cdot \frac{(1+\sqrt{3})c}{2}=\sqrt{2}(1+\sqrt{3})$，得 $c^2=4$，$c=2$。 从而 $a=\sqrt{2}$，$b=1+\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解三角形与向量数量积

核心方法：边比化角比 + $ab\cos C$

避坑指南：$\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CA}$ 的夹角是 $C$ 不是 $A$：$ab\cos C=1+\sqrt{3}$；正弦定理两条边各用一次比例即可解出三个量。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量点积出现在三角形中时，先确认夹角是哪个内角。

结论推广：$\sin \left(\frac{5\pi }{6}-C\right)$ 展开后按 $\cot C$ 归并。

方法推广：解出 $a$，$b$，$c$ 后代回 $(1+\sqrt{3})c=2b$ 自检。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形
• 2009-大纲卷II文-18 解-解三角形求角
• 2009-浙江卷文-18 解-解三角形与向量