2009-江西卷理-11 单-导数

本题导读

本题为新定义题型，考查平面封闭区域的“周长”与“最大弦长（直径）”之比。核心在于准确理解定义，通过定量分析各典型图形的周长和最大两点间距离，利用不等式或近似值进行大小比较。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(理)） 一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为 ${\tau }_1,{\tau }_2,{\tau }_3,{\tau }_4$，则下列关系中正确的为 ()

A. ${\tau }_1>{\tau }_4>{\tau }_3$　　B. ${\tau }_3>{\tau }_1>{\tau }_2$　　C. ${\tau }_4>{\tau }_2>{\tau }_3$　　D. ${\tau }_3>{\tau }_4>{\tau }_2$

🔍【思路分析】

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1. 提取“直径” $D$（最大距离）与“周率” $\tau =\frac{L}{D}$ 的数学本质。
2. 分别构建四个图形的几何模型并计算其周率 $\tau$ 的精确值或近似值：

• 图1（多边形）：外接矩形特征。
• 图2（太极半图）：圆弧长度与直径。
• 图3（凹三角形）：通过线段长度估计。
• 图4（六角星）：正六边形向外拓展的特征。

3. 比较这四个值的大小关系选出正确选项。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设区域的边界长度为 $L$，直径为 $D$，则 $\tau =\frac{L}{D}$。 ① 对于图1（阶梯形）：设其外接矩形的长为 $a$、宽为 $b$，则该图形的周长 $L=2(a+b)$，其内任意两点最大距离即为外接矩形的对角线，$D=\sqrt{a^2+b^2}$。 ${\tau }_1=\frac{2(a+b)}{\sqrt{a^2+b^2}}=2\sqrt{1+\frac{2ab}{a^2+b^2}}⩽2\sqrt{2}\approx 2.828$（当且仅当 $a=b$ 时取等号）。 ② 对于图2（太极图的阴影部分）：设大圆半径为 $R$。其边界由一个大半圆弧和两个小半圆弧组成。$L=\pi R+2\times (\frac{\pi R}{2})=2\pi R$。其最大距离为大圆直径 $D=2R$。 ${\tau }_2=\frac{2\pi R}{2R}=\pi \approx 3.141$。 ③ 对于图4（六角星）：设构成它的正三角形边长为 $3x$。则星形周长由12条长度为 $x$ 的线段组成，$L=12x$。其直径为相对顶点的距离，恰为大正三角形的高的 $\frac{4}{3}$ 倍（即 $2\times \frac{2}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 3x$ ），计算得 $D=2\sqrt{3}x$。 ${\tau }_4=\frac{12x}{2\sqrt{3}x}=2\sqrt{3}\approx 3.464$。 ④ 对于图3（凹陷三角形）：通过观察，其折叠程度不如图4剧烈，设底边为 $a$，两腰为 $a$，凹陷部分总长约为 $\frac{2}{3}a$，则 $L\approx 2.6a$，$D=a$，${\tau }_3\approx 2.6$（显然比 ${\tau }_1,{\tau }_2,{\tau }_4$ 都小）。 综合比较可知：$2\sqrt{3}>\pi >3$ （即使图3周率达不到3），显然 ${\tau }_4\approx 3.46>{\tau }_2\approx 3.14>{\tau }_1\approx 2.83$。 观察选项，只有 (C) 中 ${\tau }_4>{\tau }_2$ 且 ${\tau }_2>{\tau }_3$ 符合我们定性与定量的结论。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义的理解与转化，初等几何图形的周长与极值距离计算。
2. 核心方法：特殊图形代值估算法，将不规则图形置于标准外接图形中进行极值分析。
3. 避坑指南：计算图2周长时，不要遗漏内部“S”形曲线的长度，它正好等于大圆半周长；图1的直径是最远两点距离，不一定在图形实体内部，而是外接矩形的对角线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于微积分中关于等周不等式（Isoperimetric inequality）及分形几何曲线粗糙度的浅层背景。
2. 结论推广: 一般地，区域越“饱满”（如圆），面积固定时周长越小；区域边界越“曲折”或“星芒状”（如雪花曲线），其“周率”越大。

🔗【关联脉络】

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