2009-福建卷理-14 填-几何证明

本题导读

本题考查导数的几何意义、切线斜率与方程根的存在性，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(理)） 若曲线 $f(x)=a{x}^3+\ln x$ 存在垂直于 $y$ 轴的切线，则实数 $a$ 取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定函数的定义域为 $(0,+\infty )$ 并对函数 $f(x)$ 求导。

2. 将“存在垂直于 $y$ 轴的切线”转化为“存在 $x>0$ 使得导函数 $f^{\prime }(x)=0$”。

3. 实施参数分离，将方程变形为 $a=g(x)$ 的形式，通过求 $g(x)$ 在定义域内的值域来确定 $a$ 的范围。

✅【答案】

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$(-\infty ,0)$

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(x)=a{x}^3+\ln x$ 的定义域为 $(0,+\infty )$。 求导得： $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+\frac{1}{x}$。 因为曲线存在垂直于 $y$ 轴的切线，而垂直于 $y$ 轴的直线斜率为 0， 所以等价于方程 $f^{\prime }(x)=0$ 在 $(0,+\infty )$ 上有实数解。 即： $3a{x}^2+\frac{1}{x}=0$ 在 $x\in (0,+\infty )$ 上有解。 进行参数分离得： $3a{x}^2=-\frac{1}{x}⟹a=-\frac{1}{3x^3}$。 因为 $x>0$，所以 $x^3>0$，从而有 $\frac{1}{3x^3}\in (0,+\infty )$， 因此 $-\frac{1}{3x^3}\in (-\infty ,0)$。 要使方程有解，参数 $a$ 必须在右侧函数的值域范围内， 故实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty ,0)$。

填：$(-\infty ,0)$ （或 $a<0$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义（切线斜率即为该点导数值），方程有解的条件。

2. 核心方法：参数分离法，将复杂的未知数复合方程转化为一侧为常数参数，另一侧为独立函数的值域模型。

3. 避坑指南：必须首先写出对数函数的隐含定义域 $x>0$，若忽视定义域限制，误认为 $x$ 可以取全体非零实数，就会得出 $a\ne 0$ 的错误结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于导数章节中关于“切线方程存在性”的基本思考题，通过与反比例函数的值域相融合来加大考查的广度。

2. 结论推广：形如 $f(x)=a{x}^m+b\ln x$ 的曲线若存在水平切线，则其等价方程 $a=-\frac{b}{m{x}^m}$ 在 $x>0$ 上的解集界定了参数 $a$ 的正负号特征。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-08 单-导数与函数图象
• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线
• 2013-陕西卷文-23 解-反函数与导数比较