2009-福建卷理-20 解-导数

本题导读

本题考查导数在函数单调性与极值中的应用、三次函数的几何性质与割线定理。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(理)） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+a{x}^2+bx$, 且 $f^{\prime }(-1)=0$.

(1) 试用含 $a$ 的代数式表示 $b$, 并求 $f(x)$ 的单调区间;

(2) 令 $a=-1$, 设函数 $f(x)$ 在 $x_1,x_2$ ($x_1<x_2$) 处取得极值, 记点 $M(x_1,f(x_1))$, $N(x_2,f(x_2))$, $P(m,f(m))$, $x_1<m<x_2$. 请仔细观察曲线 $f(x)$ 在点 $P$ 处的切线与线段 $MP$ 的位置变化趋势, 并解释以下问题: ① 若对任意的 $m\in (t,x_2]$, 线段 $MP$ 与曲线 $f(x)$ 均有异于 $M,P$ 的公共点, 试确定 $t$ 的最小值, 并证明你的结论; ② 若存在点 $Q(n,f(n))$, $x_1\le n<m$, 使得线段 $PQ$ 与曲线 $f(x)$ 有异于 $P,Q$ 的公共点, 请直接写出 $m$ 的取值范围. (不必给出求解过程)

🔍【思路分析】

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1. 第一问：对函数求导，将 $f^{\prime }(-1)=0$ 代入得到 $b$ 与 $a$ 的代数关系。将导函数因式分解出两个零点 $-1$ 与 $1-2a$，围绕这两个零点的大小关系分 $a<1,a=1,a>1$ 三种情况分类讨论单调区间。

2. 第二问①：设出直线 $MP$ 的方程与 $f(x)$ 联立。利用三次方程韦达定理知三根之和为定值 3，由 $x_1=-1$ 可直接锁定制胜的第三个交点横坐标 $x_3=4-m$。要使该公共点落在内部，只需约束 $-1<4-m<m$ 即可逆推得 $t$ 的最小值。

3. 第二问②：同理利用韦达定理写出第三个根 $x_4=3-m-n$，将其约束在 $(n,m)$ 之间，转化为关于 $n$ 的不等式组，通过判定不等式组有非空解的充要条件直接得出 $m$ 的取值范围。

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可知，当且仅当 $2<m\le 3$ 时条件成立

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 因为 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+a{x}^2+bx$，所以 $f^{\prime }(x)=x^2+2ax+b$。 由 $f^{\prime }(-1)=0$ 得：$(-1{)}^2+2a(-1)+b=0⟹b=2a-1$。 此时 $f^{\prime }(x)=x^2+2ax+2a-1=(x+1)(x+2a-1)$。 令 $f^{\prime }(x)=0$，解得两根为 $x=-1$ 或 $x=1-2a$。 下面分三种情况讨论 $f(x)$ 的单调区间： ① 当 $1-2a>-1$ 即 $a<1$ 时： 当 $x\in (-\infty ,-1)\cup (1-2a,+\infty )$ 时， $f^{\prime }(x)>0$；当 $x\in (-1,1-2a)$ 时， $f^{\prime }(x)<0$。 故 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,-1)$ 和 $(1-2a,+\infty )$，单调递减区间为 $(-1,1-2a)$。 ② 当 $1-2a=-1$ 即 $a=1$ 时： $f^{\prime }(x)=(x+1{)}^2\ge 0$ 恒成立， 故 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,+\infty )$，无单调递减区间。 ③ 当 $1-2a<-1$ 即 $a>1$ 时： 当 $x\in (-\infty ,1-2a)\cup (-1,+\infty )$ 时， $f^{\prime }(x)>0$；当 $x\in (1-2a,-1)$ 时， $f^{\prime }(x)<0$。 故 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,1-2a)$ 和 $(-1,+\infty )$，单调递减区间为 $(1-2a,-1)$。

(2) ① 证明： 当 $a=-1$ 时， $b=2(-1)-1=-3$，此时 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-x^2-3x$。 $f^{\prime }(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$，由 $x_1<x_2$ 得 $x_1=-1,x_2=3$。 设直线 $MP$ 的方程为 $y=kx+c$。 联立直线与曲线方程得： $\frac{1}{3}{x}^3-x^2-3x=kx+c⟹\frac{1}{3}{x}^3-x^2-(3+k)x-c=0$。 设该三次方程的三个根分别为 $x_1,m,x_3$，由三次方程的韦达定理（根与系数关系）得： $x_1+m+x_3=-\frac{-1}{\frac{1}{3}}=3$。 将 $x_1=-1$ 代入得： $-1+m+x_3=3⟹x_3=4-m$。 线段 $MP$ 与曲线 $f(x)$ 均有异于 $M,P$ 的公共点，等价于第三个根 $x_3$ 落在 $x_1$ 与 $m$ 之间， 即 $-1<4-m<m$。 解不等式 $4-m<m$ 得 $m>2$；解 $-1<4-m$ 得 $m<5$（因 $m\le 3$，此式恒成立）。 综上可知，当且仅当 $2<m\le 3$ 时条件成立。 要使对任意 $m\in (t,3]$ 条件均成立，则必有 $(t,3]\subseteq (2,3]⟹t\ge 2$。 所以 $t$ 的最小值为 2。

② 解： $m$ 的取值范围是 $(1,3)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导函数零点含参时的分类讨论逻辑；三次曲线交轨割线的求根拓扑。

2. 核心方法：三次方程韦达定理法 $x_1+x_2+x_3=-\frac{a_2}{a_3}$，这是秒杀此类割线交点问题的绝对利器。

3. 避坑指南：第(1)问中极易漏掉 $a=1$ 时两根重合这一临界情况；第(2)问若用常规的点斜式方程去联立消元，计算量将呈几何级数爆炸，必须学会从高观点审视三次曲线的求和定值特征。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于高等代数与解析几何中关于“三次曲线的拐点与割线系定理”。任何一条直线与三次曲线相交，其三个交点的横坐标之和仅取决于三次项与二次项的系数，与直线的斜率和截距毫无关系。

2. 结论推广：对于一般的函数 $f(x)=A{x}^3+B{x}^2+Cx+D$，若直线与曲线交于三点 $x_A,x_B,x_C$，则 $x_A+x_B+x_C=-\frac{B}{A}$ 恒为定值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-08 单-导数与函数图象
• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线
• 2013-陕西卷文-23 解-反函数与导数比较