2009-福建卷理-21A 解-二阶矩阵的逆

本题导读

本题考查二阶矩阵的逆矩阵、矩阵变换与点坐标的关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(理)） 已知矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& -1\end{array}\right)$ 所对应的线性变换把点 $A(x,y)$ 变成点 $A^{\prime }(13,5)$, 试求 $M$ 的逆矩阵及点 $A$ 的坐标.

🔍【思路分析】

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1. 利用二阶矩阵逆矩阵的公式求出 $M^{-1}$。

2. 利用关系式 $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=M^{-1}\left(\begin{array}{c}13\\ 5\end{array}\right)$ 逆推点 $A$ 的坐标。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\det (M)=2\times (-1)-(-3)\times 1=1\ne 0$， 所以 $M$ 的逆矩阵为 $M^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ -1& 2\end{array}\right)$。 根据题意有 $M\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}13\\ 5\end{array}\right)$， 两边同左乘 $M^{-1}$ 得： $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=M^{-1}\left(\begin{array}{c}13\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}13\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-13+15\\ -13+10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$。 所以点 $A$ 的坐标为 $(2,-3)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二阶逆矩阵公式 ${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$。

2. 核心方法：逆矩阵的左乘消元法。

3. 避坑指南：求伴随矩阵时注意主对角线元素对调，副对角线元素变号，不要记反符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于选修4-2《矩阵与变换》中关于逆矩阵与线性变换的经典基础题。

2. 结论推广：若线性变换将空间向量 $\mathbf{v}$ 变为 ${\mathbf{v}}^{\prime }$，则原向量可通过逆矩阵变换恢复，即 $\mathbf{v}=M^{-1}{\mathbf{v}}^{\prime }$。

🔗【关联脉络】

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