2009-重庆卷理-18 解-导数

本题导读

本题考查导数的几何意义、函数在某点取得极值的条件。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(理)） 设函数 $f(x)=a{x}^2+bx+k(k>0)$ 在 $x=0$ 处取得极值，且曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线垂直于直线 $x+2y+1=0$.

(1) 求 $a,b$ 的值；

(2) 若函数 $g(x)=\frac{{\text{e}}^x}{f(x)}$，讨论 $g(x)$ 的单调性.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：求出 $f^{\prime }(x)=2ax+b$。由在 $x=0$ 处取得极值，得到 $f^{\prime }(0)=0⟹b=0$。由切线垂直于斜率为 $-\frac{1}{2}$ 的直线，得到切线斜率 $f^{\prime }(1)=2$，联立解出 $a$。
2. 第二问：将 $a,b$ 的值代入得到 $f(x)=x^2+k$。求出 $g(x)=\frac{{\text{e}}^x}{x^2+k}$ 的导函数 $g^{\prime }(x)$，通分后分子为 ${\text{e}}^x(x^2-2x+k)$。由于 ${\text{e}}^x>0$ 且分母恒正，导数符号完全由二次多项式 $h(x)=x^2-2x+k$ 决定。计算其判别式 $\Delta =4-4k$，围绕 $k$ 与 1 的大小关系进行分类讨论。

点击查看答案

• 当 $k⩾1$ 时， $g(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调递增；- 当 $0<k<1$ 时， $g(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,1-\sqrt{1-k})$ 和 $(1 + \sqrt{1 - k}, +

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）对函数 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=2ax+b$。 因为函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极值， 所以 $f^{\prime }(0)=0⟹b=0$。 此时 $f(x)=a{x}^2+k$， $f^{\prime }(x)=2ax$。 因为曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线垂直于直线 $x+2y+1=0$（该直线斜率为 $-\frac{1}{2}$）， 根据两条直线垂直的斜率关系，该切线的斜率必为 2， 即 $f^{\prime }(1)=2a\times 1=2⟹a=1$。 综上所述， $a=1,b=0$。

（2）由（1）知 $f(x)=x^2+k(k>0)$，则 $g(x)=\frac{{\text{e}}^x}{x^2+k}$，其定义域为 $\mathbf{R}$。 对 $g(x)$ 进行求导： $g^{\prime }(x)=\frac{({\text{e}}^x{)}^{\prime }(x^2+k)-{\text{e}}^x(x^2+k{)}^{\prime }}{(x^2+k{)}^2}=\frac{{\text{e}}^x(x^2+k)-{\text{e}}^x(2x)}{(x^2+k{)}^2}=\frac{{\text{e}}^x(x^2-2x+k)}{(x^2+k{)}^2}$ 因为 ${\text{e}}^x>0$ 且 $(x^2+k{)}^2>0$ 恒成立， 所以 $g^{\prime }(x)$ 的正负符号完全由二次三项式 $h(x)=x^2-2x+k$ 决定。 该二次方程的判别式 $\Delta =(-2{)}^2-4k=4-4k=4(1-k)$。 结合已知条件 $k>0$，对 $k$ 的范围分以下两种情况讨论：

① 当 $\Delta ⩽0$ 即 $k⩾1$ 时， $h(x)⩾0$ 恒成立， 此时在 $\mathbf{R}$ 上恒有 $g^{\prime }(x)⩾0$， 所以，当 $k⩾1$ 时， $g(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,+\infty )$，无单调递减区间。

② 当 $\Delta >0$ 即 $0<k<1$ 时，方程 $x^2-2x+k=0$ 有两个不同的实数根： $x_1=1-\sqrt{1-k},x_2=1+\sqrt{1-k}$ 显然 $x_1<x_2$。此时导函数的符号分布规律如下：

• 当 $x\in (-\infty ,1-\sqrt{1-k})$ 时， $h(x)>0⟹g^{\prime }(x)>0$；
• 当 $x\in (1-\sqrt{1-k},1+\sqrt{1-k})$ 时， $h(x)<0⟹g^{\prime }(x)<0$；
• 当 $x\in (1+\sqrt{1-k},+\infty )$ 时， $h(x)>0⟹g^{\prime }(x)>0$。

综上所述：

• 当 $k⩾1$ 时， $g(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调递增；
• 当 $0<k<1$ 时， $g(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,1-\sqrt{1-k})$ 和 $(1+\sqrt{1-k},+\infty )$，单调递减区间为 $(1-\sqrt{1-k},1+\sqrt{1-k})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数几何意义中两直线垂直的斜率乘积条件 $k_1\cdot k_2=-1$；商的求导法则 ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$；利用判别式对导函数零点存在性进行分类讨论。
2. 核心方法：因式符号化归法（通过剥离恒正因式 ${\text{e}}^x$ 聚焦二次多项式符号）。
3. 避坑指南：第一问中“在 $x=0$ 处取得极值”是一个必要条件条件，虽然对二次函数而言 $f^{\prime }(0)=0$ 对应的充要性显然，但在严密表述中需注意极值点与导数零点的逻辑关联。第二问讨论时切勿漏掉临界状态 $k=1$ 的等号归属。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是由教材中指数函数与二次函数构成的分式复合结构改编而来，是高考中利用导数考查分类讨论素养的最标准大题模式。
2. 结论推广: 对于形如 $g(x)=\frac{{\text{e}}^x}{x^2+k}$ 的函数，由于指数爆炸效应远大于幂函数增长，其在正向无穷远处必趋于 $+\infty$，其单调性的分支本质上取决于二次曲线 $y=x^2-2x+k$ 是否与 $x$ 轴相交。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-08 单-导数与函数图象
• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线
• 2013-陕西卷文-23 解-反函数与导数比较