2010-上海卷理-10 填-矩阵元素的规

本题导读

本题考查矩阵主对角线元素的规律识别与求和计算，通过分析 $a_{ii}$ 随行号 $i$ 的变化规律求解。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(理)） 在 $n$ 行 $n$ 列矩阵 $\left(\begin{array}{ccccccc}1& 2& 3& \cdots & n-2& n-1& n\\ 2& 3& 4& \cdots & n-1& n& 1\\ 3& 4& 5& \cdots & n& 1& 2\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ n& 1& 2& \cdots & n-3& n-2& n-1\end{array}\right)$ 中，记位于第 $i$ 行第 $j$ 列的数为 $a_{ij}(i,j=1,2,\cdots ,n)$.当 $n=9$ 时，$a_{11}+a_{22}+a_{33}+\cdots +a_{99}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察矩阵规律：

• 第 $1$ 行第 $1$ 列 $a_{11}=1$；
• 第 $2$ 行第 $2$ 列 $a_{22}=3$；
• 第 $3$ 行第 $3$ 列 $a_{33}=5$；
• 递推规律：主对角线元素 $a_{ii}=2i-1$（当 $2i-1\le n$ 时）。如果 $2i-1>n$，由于第 $i$ 行依次循环偏移，可通过通用通项 $a_{ij}\equiv i+j-1(\mathrm{mod}n)$ 求解。

2. 当 $n=9$ 时，逐一列出 $a_{11},a_{22},\dots ,a_{99}$ 的具体数值求和。

✅【答案】

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$45$

✍【详细解析】

Abstract

观察矩阵中各元素的排列关系： 第 $i$ 行第 $j$ 列的数 $a_{ij}$ 是将序列 $1,2,3,\dots ,n$ 向左循环平移 $(i-1)$ 个位置得到。

因此主对角线元素 $a_{ii}$ 对应的数值为： $a_{ii}=\{\begin{array}{ll}2i-1,& 2i-1\le n\\ (2i-1)-n,& 2i-1>n\end{array}$

当 $n=9$ 时，依次计算对角线上的 $9$ 个元素 $a_{ii}(i=1,2,\dots ,9)$：

• $i=1:a_{11}=2(1)-1=1$
• $i=2:a_{22}=2(2)-1=3$
• $i=3:a_{33}=2(3)-1=5$
• $i=4:a_{44}=2(4)-1=7$
• $i=5:a_{55}=2(5)-1=9$
• $i=6:a_{66}=2(6)-1-9=2$
• $i=7:a_{77}=2(7)-1-9=4$
• $i=8:a_{88}=2(8)-1-9=6$
• $i=9:a_{99}=2(9)-1-9=8$

发现对角线上这 $9$ 个元素正好是 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 的重新排列。

计算求和： $a_{11}+a_{22}+a_{33}+\cdots +a_{99}=1+3+5+7+9+2+4+6+8={\sum }_{k=1}^{9}k=\frac{9\times 10}{2}=45$

故答案为：$45$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：矩阵元素的表示规律与循环余数计算。
2. 核心方法：求出 $a_{ii}$ 的显式表达式（取模循环）$\to$ 列出各元素求和。
3. 避坑指南：当 $2i-1>9$ 时（如 $i=6$），数值变为 $11-9=2$，切勿直接用公式 $2i-1$ 盲目求和。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：上海卷创新矩阵迹（主对角线元素之和）的计算题。
2. 结论推广：当 $n$ 为奇数时，该阵的主对角线元素正好构成 $1,2,\dots ,n$ 的置换，其和恒为 $\frac{n(n+1)}{2}$。

🔗【关联脉络】

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