2010-北京卷文-12 填-直方图与分层抽样

本题导读

考查直方图与分层抽样。$10(a+0.035+0.020+0.010+0.005)=1$ 得 $a=0.030$；三组比 $3:2:1$，$[140,150]$ 组选 $3$ 人。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(文)） 从某小学随机抽取 $100$ 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.由图中数据可知 $a=$ $\underline{}$.若要从身高在 $[120,130)$，$[130,140)$，$[140,150]$ 三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 $18$ 人参加一项活动，则从身高在 $[140,150]$ 内的学生中选取的人数应为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $10\times (0.005+0.010+0.020+a+0.035)=1$。
2. $a=0.030$。
3. 三组频率比 $0.030:0.020:0.010=3:2:1$。
4. $18\times \frac{1}{6}=3$。

✅【答案】

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$a=0.030$；$3$

✍【详细解析】

Abstract

由频率分布直方图中所有矩形面积之和为 $1$， $10\times (0.005+0.010+0.020+a+0.035)=1,$ 解得 $a=0.030$。 身高在 $[120,130)$，$[130,140)$，$[140,150]$ 三组的频率（人数）比为 $0.030:0.020:0.010=3:2:1.$ 分层抽样选取 $18$ 人，则从 $[140,150]$ 组中应选 $18\times \frac{1}{3+2+1}=3\text{（人）}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：频率分布直方图与分层抽样

核心方法：面积和为 $1$ 求未知纵轴，频率比即人数比

避坑指南：直方图纵轴是”频率/组距”，频率 $=$ 纵轴 $\times$ 组距（本题组距 $10$），直接用纵轴数值当频率是常见错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分层抽样的核心是”按比例”：各层样本数之比等于各层总体数之比。

结论推广：三组频率比 $3:2:1$ 与人数比一致，$18$ 人按 $3:2:1$ 分配为 $9,6,3$。

方法推广：直方图读数先找组距，再看纵轴刻度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-14 填-频率分布直方图
• 2009-湖北卷文-15 填-频率分布直方图
• 2009-新课标卷文-19 解-分层抽样与频率分布
• 2009-广东卷文-12 填-系统与分层抽样