2010-北京卷理-16 解-面面垂直

本题导读

本题考查空间点线面的位置关系及二面角的求解。解题核心在于利用面面垂直的性质定理寻找垂直特征线，建立空间直角坐标系，从而将线面平行、线面垂直的几何证明以及二面角的空间角计算完全转化为向量的代数运算。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(理)） 如图，正方形 $ABCD$ 和四边形 $ACEF$ 所在的平面互相垂直，$CE\perp AC$，$EF\parallel AC$，$AB=\sqrt{2}$，$CE=EF=1$．

(1)求证：$AF\parallel$ 平面 $BDE$；

(2)求证：$CF\perp$ 平面 $BDE$；

(3)求二面角 $A-BE-D$ 的大小．

🔍【思路分析】

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1. 建立空间直角坐标系：由面面垂直的性质定理，从 $CE\perp AC$ 推出 $CE\perp$ 平面 $ABCD$，再结合正方形的邻边垂直，以 $C$ 为原点建立空间直角坐标系。
2. 写出点及向量坐标：利用线段长度及平行关系，精准写出各个关键点的坐标，并求出对应向量。
3. 向量法统一论证与求解：

• 第一问：证明 $AF$ 的方向向量与平面 $BDE$ 的法向量垂直；

• 第二问：证明 $CF$ 的方向向量与平面 $BDE$ 的法向量共线（平行）；

• 第三问：分别求出平面 $ABE$ 和平面 $DBE$ 的法向量，利用夹角公式求出二面角的余弦值。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

因为平面 $ACEF\perp$ 平面 $ABCD$，且两平面交线为 $AC$， 又 $CE\subset$ 平面 $ACEF$，且 $CE\perp AC$， 所以 $CE\perp$ 平面 $ABCD$． 因为 $ABCD$ 为正方形，所以 $CD\perp CB$． 又 $CE\perp$ 平面 $ABCD⟹CE\perp CD,CE\perp CB$． 故以 $C$ 为原点，$CD,CB,CE$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。

由 $AB=\sqrt{2}$ 得正方形边长为 $\sqrt{2}$，又 $CE=1$，则各点坐标为： $C(0,0,0)$, $D(\sqrt{2},0,0)$, $B(0,\sqrt{2},0)$, $A(\sqrt{2},\sqrt{2},0)$, $E(0,0,1)$． 因为 $EF\parallel AC$，$EF=1$，且 $AC=\sqrt{(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}=2$， 所以 $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$， 则 $F$ 点坐标为 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$．

（1）证明： 门向量 $\overrightarrow{AF}=F-A=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$． 设平面 $BDE$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$， 已知 $\overrightarrow{DB}=(-\sqrt{2},\sqrt{2},0)$，$\overrightarrow{DE}=(-\sqrt{2},0,1)$． 由 $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{DB}=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{DE}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0\\ -\sqrt{2}x+z=0\end{array}$， 取 $x=1$，得平面 $BDE$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(1,1,\sqrt{2})$． 计算可得： $\overrightarrow{AF}\cdot \vec{n}=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\times 1+\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\times 1+1\times \sqrt{2}=0$ 因为 $AF\not\subset$ 平面 $BDE$，所以 $AF\parallel$ 平面 $BDE$．

（2）证明： 门向量 $\overrightarrow{CF}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$． 由此可知： $\overrightarrow{CF}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1,1,\sqrt{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{n}$ 即 $\overrightarrow{CF}\parallel \vec{n}$，所以 $CF\perp$ 平面 $BDE$．

（3）解： 由（1）可知平面 $BDE$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(1,1,\sqrt{2})$． 设平面 $ABE$ 的法向量为 $\vec{m}=(x_2,y_2,z_2)$， 已知 $\overrightarrow{BA}=(\sqrt{2},0,0)$，$\overrightarrow{BE}=(0,-\sqrt{2},1)$． 由 $\{\begin{array}{l}\vec{m}\cdot \overrightarrow{BA}=0\\ \vec{m}\cdot \overrightarrow{BE}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}\sqrt{2}{x}_2=0\\ -\sqrt{2}{y}_2+z_2=0\end{array}$， 取 $y_2=1$，得平面 $ABE$ 的一个法向量为 $\vec{m}=(0,1,\sqrt{2})$． 设两法向量的夹角为 $\theta$，则： $\cos \theta =\frac{\vec{n}\cdot \vec{m}}{|\vec{n}|\cdot |\vec{m}|}=\frac{1\times 0+1\times 1+\sqrt{2}\times \sqrt{2}}{\sqrt{1+1+2}\times \sqrt{0+1+2}}=\frac{3}{2\times \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 由图形可知，二面角 $A-BE-D$ 为锐角， 所以二面角 $A-BE-D$ 的大小为 $\frac{\pi }{6}$（或 $30^{\circ }$）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面垂直性质的应用、线面平行的向量判定、二面角的向量法求解。
2. 核心方法：空间直角坐标系法（建系的关键在于寻找两两垂直的交线）。
3. 避坑指南：

• 建系不写步骤：第一步建立坐标系前，必须严谨证明 $CE\perp$ 平面 $ABCD$，不能直接主观建系，否则解答题会扣步分。

• 忽略锐钝角判定：法向量的夹角余弦值不直接等同于二面角的余弦值，最后一步必须结合空间图形的直观特征判定该二面角是锐角还是钝角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题由经典的直三棱柱与翻折问题综合改编而来，是高考立体几何解答题的经典代表，主要考查空间想象能力和逻辑推导能力。

2. 结论推广: 向量法处理立体几何问题具有普适性。对于任意线面平行关系，均可转化为“直线的方向向量与平面的法向量数量积为 0”；线面垂直关系可转化为“直线的方向向量与平面的法向量共线”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-江苏卷-16 解-线面平行与面面垂直
• 2011-江苏卷-22 解-空间向量与二面角
• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角