2010-北京卷理-18 解-几何证明

本题导读

本题是一道经典的导数工具应用题。第一问考查导数的几何意义，通过求导数在特定点的值确定切线斜率；第二问考查利用导数研究含参函数的单调性，核心在于对导函数零点在定义域内的分布进行严谨的分类讨论。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(理)） 已知函数 $f(x)=\ln (1+x)-x+\frac{k}{2}{x}^2$（$k\ge 0$）．

(1)当 $k=2$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程；

(2)求 $f(x)$ 的单调区间．

🔍【思路分析】

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1. 求导并确定定义域：函数的定义域为 $(-1,+\infty )$，通用求导公式为 $f^{\prime }(x)=\frac{x(kx+k-1)}{1+x}$．

2. 第一问特定代入：令 $k=2$，求出 $f(1)$ 与 $f^{\prime }(1)$，由点斜式直接写出切线方程。

3. 第二问分类讨论零点：导函数的符号由分子 $g(x)=x(kx+k-1)$ 决定。其零点为 $x_1=0$ 和 $x_2=\frac{1-k}{k}$（$k>0$）．需要针对 $k=0$ 以及 $x_2$ 与定义域边界 $-1$、另一零点 $0$ 的大小关系（即 $0<k<1$，$k=1$，$k>1$）进行分类讨论。

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*** 当 $k=0$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-1,0]$，单调递减区间为 $[0,+\infty )$；* 当 $0<k<1$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-1,0]$ 和 $\left[\frac{1-k}{k},+\infty \right)$，

✍【详细解析】

Abstract

由题意知，函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-1,+\infty )$． 对 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-1+kx=\frac{1-(1+x)+kx(1+x)}{1+x}=\frac{x(kx+k-1)}{1+x}$

（1）当 $k=2$ 时，$f(x)=\ln (1+x)-x+x^2$， 则 $f(1)=\ln 2-1+1=\ln 2$． 此时导函数为 $f^{\prime }(x)=\frac{x(2x+1)}{1+x}$， 则在点 $(1,f(1))$ 处的切线斜率 $k_{\text{切}}=f^{\prime }(1)=\frac{1\times (2+1)}{1+1}=\frac{3}{2}$． 所以曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为： $y-\ln 2=\frac{3}{2}(x-1)⟹3x-2y-3+2\ln 2=0$

（2）由 $f^{\prime }(x)=\frac{x(kx+k-1)}{1+x}$ ($x>-1$) 可知，$f^{\prime }(x)$ 的分母 $1+x>0$，其符号由分子 $g(x)=x(kx+k-1)$ 决定． 下面针对参数 $k\ge 0$ 进行分类讨论：

① 当 $k=0$ 时，$f^{\prime }(x)=\frac{-x}{1+x}$．

• 当 $x\in (-1,0)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in (0,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减．

② 当 $k>0$ 时，令 $f^{\prime }(x)=0$ 解得两根为 $x_1=0$，$x_2=\frac{1-k}{k}=\frac{1}{k}-1$． 因为 $\frac{1}{k}>0$，所以 $x_2=\frac{1}{k}-1>-1$，即零点始终在定义域内．

• 若 $0<k<1$，则 $\frac{1}{k}>1⟹x_2>0$，此时 $-1<0<x_2$．

• 当 $x\in (-1,0)\cup (\frac{1-k}{k},+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$；

• 当 $x\in (0,\frac{1-k}{k})$ 时，$f^{\prime }(x)<0$．

• 故 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-1,0]$ 和 $\left[\frac{1-k}{k},+\infty \right)$，单调递减区间为 $\left[0,\frac{1-k}{k}\right]$．

• 若 $k=1$，则 $x_2=0$，此时 $f^{\prime }(x)=\frac{x^2}{1+x}\ge 0$ 恒成立．

• 故 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-1,+\infty )$，无单调递减区间．

• 若 $k>1$，则 $0<\frac{1}{k}<1⟹-1<x_2<0$．

• 当 $x\in (-1,\frac{1-k}{k})\cup (0,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$；

• 当 $x\in (\frac{1-k}{k},0)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$．

• 故 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(-1,\frac{1-k}{k}\right]$ 和 $[0,+\infty )$，单调递减区间为 $\left[\frac{1-k}{k},0\right]$．

综上所述：

• 当 $k=0$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-1,0]$，单调递减区间为 $[0,+\infty )$；

• 当 $0<k<1$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-1,0]$ 和 $\left[\frac{1-k}{k},+\infty \right)$，单调递减区间为 $\left[0,\frac{1-k}{k}\right]$；

• 当 $k=1$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-1,+\infty )$，无单调递减区间；

• 当 $k>1$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(-1,\frac{1-k}{k}\right]$ 和 $[0,+\infty )$，单调递减区间为 $\left[\frac{1-k}{k},0\right]$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的切线几何意义、利用导数工具分析函数单调性、一元二次方程根的分布讨论。
2. 核心方法：分类讨论法。分类的关键点在于寻找使导数符号发生改变的临界参数值（本题中为 $k=0,1$）。
3. 避坑指南：

• 忽视定义域：求单调区间时，必须严谨扣住定义域 $x>-1$，若写出 $(-\infty ,0)$ 等区间将直接判错。

• 区间断开书写：单调区间若存在多个，必须用“和”字或分开并列书写，严禁使用并集符号 “$\cup$” 连接。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题基于泰勒展开式的背景进行改编。由于 $\ln (1+x)\approx x-\frac{1}{2}{x}^2$，本题本质上是在研究对数函数与二次多项式逼近曲线的相对位置关系与动态波动特性。

2. 结论推广: 函数 $f(x)=\ln (1+x)-x+\frac{k}{2}{x}^2$ 的凸性及单调性转折完全取决于二次型逼近系数 $k$ 的大小。当 $k\ge 1$ 时，在大尺度上函数主要由二次项主导呈现递增趋势；当 $0\le k<1$ 时，局部区间内对数函数的减速效应显现，从而产生波谷。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-08 单-导数与函数图象
• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线
• 2013-陕西卷文-23 解-反函数与导数比较