2010-四川卷理-08 单-数列

本题导读

本题考查利用 $S_n$ 的递推关系求数列通项，并计算极限 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{S_n}$。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1\ne 0$，其前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $S_{n+1}=2S_n+a_1$，则 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{S_n}=$()

A. $0$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构造等比数列求 $S_n$：由 $S_{n+1}=2S_n+a_1$ 变形为 $S_{n+1}+a_1=2(S_n+a_1)$。因为 $S_1+a_1=2a_1\ne 0$，说明 $\{S_n+a_1\}$ 是公比为 $2$ 的等比数列。
2. 求出 $S_n$ 与 $a_n$：

• $S_n+a_1=2a_1\cdot 2^{n-1}=a_1\cdot 2^n⟹S_n=a_1(2^n-1)$；
• 当 $n\ge 2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=a_1(2^n-2^{n-1})=a_1\cdot 2^{n-1}$。

3. 求极限：计算比值 $\frac{a_n}{S_n}=\frac{a_1\cdot 2^{n-1}}{a_1(2^n-1)}=\frac{2^{n-1}}{2^n-1}=\frac{1}{2-\frac{1}{2^{n-1}}}$，令 $n\to \infty$ 求极限。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $S_n$ 的通项公式 已知递推关系 $S_{n+1}=2S_n+a_1$。 两边同时加上 $a_1$： $S_{n+1}+a_1=2(S_n+a_1)$

首项 $S_1+a_1=a_1+a_1=2a_1\ne 0$。 所以数列 $\{S_n+a_1\}$ 是以 $2a_1$ 为首项、以 $2$ 为公比的等比数列。

其通项为： $S_n+a_1=2a_1\cdot 2^{n-1}=a_1\cdot 2^n$ $S_n=a_1(2^n-1)$

第二步：求 $a_n$ 的通项公式 当 $n\ge 2$ 时： $a_n=S_n-S_{n-1}=a_1(2^n-1)-a_1(2^{n-1}-1)=a_1(2^n-2^{n-1})=a_1\cdot 2^{n-1}$

第三步：计算极限 代入 $\frac{a_n}{S_n}$： $\frac{a_n}{S_n}=\frac{a_1\cdot 2^{n-1}}{a_1(2^n-1)}=\frac{2^{n-1}}{2^n-1}$

分子分母同除以 $2^{n-1}$： $\frac{a_n}{S_n}=\frac{1}{2-\frac{1}{2^{n-1}}}$

当 $n\to \infty$ 时，$\frac{1}{2^{n-1}}\to 0$，所以： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{S_n}=\frac{1}{2-0}=\frac{1}{2}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：构造法求递推数列通项（$S_{n+1}+c=q(S_n+c)$），$a_n=S_n-S_{n-1}$ 与数列极限。
2. 核心方法：构造法求 $S_n\to$ 推出 $a_n\to$ 同除最大指数求极限。
3. 避坑指南：计算 $2^n-2^{n-1}$ 时提公因式为 $2^{n-1}(2-1)=2^{n-1}$，切勿误算成 $0$ 或 $1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：前 $n$ 项和递推求解与数列极限结合题。
2. 结论推广：若 $S_n=A\cdot q^n+B$，则当 $q>1$ 时，${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{S_n}=\frac{q-1}{q}$。本题 $q=2⟹\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-02 填-数列极限
• 2011-上海卷文-23 解-数列交并分组求和
• 2011-上海卷理-18 单-等比数列